Derivada parcial: visualização 3D interativa

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A derivada parcial nesta visualização

Para uma função de duas variáveis $f(x, y)$ , a derivada parcial em ordem a x em $(a, b)$ , escrita $\partial f/\partial x$ ou $f_x$ , é a derivada habitual da função de uma variável $x \mapsto f(x, b)$ em $x = a$ : y mantém-se fixo e só x varia. A derivada parcial em ordem a y mantém x fixo da mesma forma. Esta página mostra ambas em seis superfícies.

Derivada parcial

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

Também se escreve $f_x(a, b)$ (ou $f'_x(a, b)$ ), e o ponto $(a, b)$ como $(x_0, y_0)$ . A superfície de vidro é o gráfico de $z = f(x, y)$ , com as curvas de nível no chão. O plano vertical $y = b$ , que passa pelo ponto azul P, corta a superfície segundo uma curva, a secção: o gráfico de $x \mapsto f(x, b)$ . A seta cinzenta representa um avanço de 1 na direção de x; a subida desde a sua ponta até à tangente azul, uma variação vertical com sinal (positivo para cima, negativo para baixo), é $\partial f/\partial x$ , o declive da secção em P. A janela sobre a vista desenha a mesma secção como um gráfico comum. Escolher $\partial f/\partial y$ roda o plano para $x = a$ .

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O que observar

Uma derivada parcial pode depender das duas coordenadas de P, incluindo a que se mantém fixa. Mova a secção e a curva muda, podendo o seu declive mudar também: em $f = xy/4$ , todas as secções na direção de x são retas, e o declive $\partial f/\partial x = y/4$ depende apenas da secção escolhida.
$\partial f/\partial x = 0$ diz apenas que a secção na direção de x é horizontal em P. Quando uma função diferenciável tem um máximo ou mínimo local num ponto interior do domínio, ambas as derivadas parciais são 0; mas isso não basta, por si só: num ponto de sela, ambas também são 0.
A subida é medida na reta tangente, não na superfície: num passo $h$ , a própria secção varia aproximadamente $h\,\partial f/\partial x$ , sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for $h$ .
A vista 3D mantém as proporções reais, com z à mesma escala de x e y, mas a inclinação aparente de uma reta no ecrã depende do ângulo de observação. A janela da secção mostra-a de frente e com escalas iguais, permitindo comparar os declives diretamente.

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Aplicações

Em conjunto, as duas derivadas parciais formam o gradiente $\nabla f = (f_x, f_y)$ . Onde f é diferenciável, as duas retas tangentes mostradas com a alavanca em Ambas pertencem ao plano tangente $z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b)$ . A existência das duas derivadas parciais não basta, por si só, para existir um plano tangente.
Sempre que uma grandeza depende de várias outras, uma derivada parcial mede a sua resposta a uma delas, mantendo as restantes fixas; por exemplo, a rapidez com que a pressão de um gás aumenta com a temperatura a volume constante.

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Controlos

Arraste P na superfície ou a sua projeção no mapa. Os pontos notáveis saltam para valores exatos; num ponto crítico de referência, ambas as derivadas parciais são exatamente 0.
A alavanca em Secção escolhe a variável que muda: $\partial f/\partial x$ mantém y fixo e corta na direção de x, $\partial f/\partial y$ mantém x fixo e corta na direção de y; a posição central, Ambas, mostra as duas secções. Gráfico da secção abre ou fecha a janela; com uma secção, também pode arrastar P ao longo dela nessa janela. Dos dois seletores em Ponto, um move P ao longo da secção e o outro move o corte. O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (← → movem P ao longo da secção, ↑ ↓ movem o corte, X, Y e B movem a alavanca e H oculta as respostas).

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Relacionados

D05Derivada
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Para saber mais: Wikipédia: Partial derivative (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (Inglês).