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Cálculo em várias variáveis · Gradiente

Gradiente

O gradiente de uma função diferenciável é o vetor das suas derivadas parciais, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Onde não é nulo, aponta na direção e no sentido em que a função cresce mais depressa, e o seu comprimento é esse declive máximo.

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O gradiente nesta visualização

O gradiente de uma função f(x,y)f(x, y), escrito ∇f\nabla f ou grad⁡f\operatorname{grad} f, é o vetor das suas derivadas parciais, ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y). Onde ff é diferenciável e ∇f≠0\nabla f \ne 0, aponta na direção e no sentido em que ff cresce mais depressa, e o seu comprimento é essa taxa máxima. Esta página mostra-o em seis superfícies, juntamente com a derivada direcional, a taxa de variação de ff numa direção escolhida.

A superfície de vidro é o gráfico de z=f(x,y)z = f(x, y); o seu mapa de curvas de nível está no chão. O ponto azul P está na superfície, por cima de (a,b)(a, b). A seta vermelha u é um vetor horizontal unitário com ângulo θ\theta, medido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a partir do semieixo positivo xx. Num passo horizontal de uma unidade segundo u, o plano tangente sobe a altura do segmento amarelo: a derivada direcional

Derivada direcional
Duf(a,b)=∇f⋅u=fxcos⁡θ+fysin⁡θ.D_u f(a, b) = \nabla f \cdot u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta.

A derivada direcional também se escreve ∂f∂l\dfrac{\partial f}{\partial l}, sendo a direção dada pelo vetor unitário el=(cos⁡α,cos⁡β)e_l = (\cos\alpha, \cos\beta); aqui θ\theta é medido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a partir do semieixo positivo xx, pelo que cos⁡α=cos⁡θ\cos\alpha = \cos\theta e cos⁡β=sin⁡θ\cos\beta = \sin\theta. O anel azul é a circunferência unitária em torno de P elevada ao plano tangente. O seu ponto mais alto fica na direção do gradiente, a uma altura ∣∇f∣|\nabla f| acima de P, porque

Declive máximo
Duf=∣∇f∣cos⁡φ≤∣∇f∣,D_u f = |\nabla f| \cos\varphi \le |\nabla f|,

onde φ\varphi é o ângulo entre u e ∇f\nabla f. O declive é máximo no sentido do gradiente, nulo ao longo da curva de nível que passa por P e mínimo no sentido oposto ao gradiente.

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O que observar

  • O gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por P. Curvas de nível traçadas com incrementos iguais de ff ficam mais próximas onde ∣∇f∣|\nabla f| é grande.
  • Quando u dá uma volta completa, o ponto (a,b)+(Duf) u(a, b) + (D_u f)\,u no mapa descreve uma circunferência cujo diâmetro vai de (a,b)(a, b) a (a,b)+∇f(a, b) + \nabla f. Onde ∇f=0\nabla f = 0, a circunferência reduz-se ao próprio ponto.
  • A direção de maior subida não tem de apontar para o cume: numa colina alongada, as duas direções são diferentes.
  • As derivadas parciais são derivadas direcionais: u=(1,0)u = (1, 0) dá fxf_x e u=(0,1)u = (0, 1) dá fyf_y.
  • Onde ∇f=0\nabla f = 0 (um ponto crítico), todas as direções têm declive 0 e não há uma direção de maior subida. Um ponto de sela é um ponto deste tipo que não é um máximo local nem um mínimo local.
  • A variação vertical amarela pertence ao plano tangente: é uma aproximação linear. Num pequeno passo horizontal hh segundo u, a própria superfície sobe f((a,b)+hu)−f(a,b)≈h Duff((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f, e quanto menor for hh, melhor é a concordância.
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Aplicações

  • A descida do gradiente, o método de base para treinar modelos de aprendizagem automática, diminui uma função através de pequenos passos sucessivos no sentido oposto ao gradiente, x←x−η ∇f(x)x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x). Onde ∇f≠0\nabla f \ne 0, um passo suficientemente pequeno faz descer, mas o método pode ficar num mínimo local ou avançar lentamente perto de uma sela, em vez de atingir o ponto mais baixo.
  • Como o gradiente é perpendicular às curvas de nível, dá a sua direção normal. Onde uma função suave ff tem um máximo ou mínimo sobre uma curva g=cg = c (com ∇g≠0\nabla g \ne 0), os dois gradientes são paralelos, ∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g: é a ideia dos multiplicadores de Lagrange.
  • Em física, uma força conservativa é o simétrico do gradiente da energia potencial, F=−∇UF = -\nabla U: atua no sentido de menor energia, na direção em que esta diminui mais depressa.
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Controlos

  • Arraste P na superfície ou a sua projeção no mapa, ou arraste a ponta da seta vermelha. Os pontos e as direções notáveis (+x+x, +y+y, ∇f\nabla f, ⊥∇f\perp\nabla f) selecionam valores exatos; num ponto crítico notável, ∇f\nabla f é exatamente 0.
  • Varrer dá uma volta completa com u e para na direção de maior subida. Vista de cima olha na vertical, mostrando os verdadeiros ângulos do mapa. O Modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (Espaço faz o varrimento, ← → rodam u, H oculta as respostas).
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Relacionados

  • E10Mapa de curvas de nívelPrevisto
  • E12Derivada parcial
  • E13Plano tangente
  • E16Teste das segundas derivadas parciaisPrevisto
  • E17Multiplicador de LagrangePrevisto

Para saber mais: Wikipédia: Gradient (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.6 Directional Derivatives and the Gradient (Inglês).