Gradient

Le gradient dans cette visualisation

À observer

• Le gradient est perpendiculaire à la courbe de niveau passant par P. Les courbes tracées à intervalles égaux de $f$ se resserrent là où $|\nabla f|$ est grand.
• Lorsque u fait un tour complet, le point $(a, b) + (D_u f)\,u$ sur la carte décrit un cercle dont le diamètre va de $(a, b)$ à $(a, b) + \nabla f$. Là où $\nabla f = 0$, le cercle se réduit au point lui-même.
• La direction de plus grande pente ne pointe pas nécessairement vers le sommet : sur une colline étirée, ces deux directions diffèrent.
• Les dérivées partielles sont des dérivées directionnelles : $u = (1, 0)$ donne $f_x$, et $u = (0, 1)$ donne $f_y$.
• Là où $\nabla f = 0$ (un point critique), la pente vaut 0 dans toutes les directions et il n’existe pas de direction de plus grande pente. Un point selle est un tel point, qui n’est ni un maximum local ni un minimum local.
• L’élévation jaune appartient au plan tangent : c’est une approximation linéaire. Sur un petit pas horizontal $h$ selon u, la surface elle-même s’élève de $f((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f$, et plus $h$ est petit, meilleure est l’approximation.

Applications

• La descente de gradient, méthode de base pour entraîner les modèles d’apprentissage automatique, diminue une fonction par petits pas répétés dans le sens opposé au gradient, $x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x)$. Là où $\nabla f \ne 0$, un pas suffisamment petit fait descendre, mais la méthode peut se stabiliser dans un minimum local ou progresser très lentement près d’un point selle, sans atteindre le point le plus bas.
• Le gradient étant perpendiculaire aux courbes de niveau, il donne leur direction normale. Lorsqu’une fonction régulière $f$ atteint un maximum ou un minimum sur une courbe $g = c$ (avec $\nabla g \ne 0$), les deux gradients sont parallèles, $\nabla f = \lambda \nabla g$ : c’est le principe des multiplicateurs de Lagrange.
• En physique, une force conservative est l’opposé du gradient de l’énergie potentielle, $F = -\nabla U$ : elle pousse vers une énergie plus faible, dans la direction où celle-ci diminue le plus vite.

Commandes

• Faites glisser P sur la surface ou sa projection sur la carte, ou déplacez la pointe de la flèche rouge. Les points et directions remarquables ($+x$, $+y$, $\nabla f$, $\perp\nabla f$) permettent d’atteindre des valeurs exactes ; en un point critique remarquable, $\nabla f$ vaut exactement 0.
• Balayer fait effectuer un tour complet à u et l’arrête dans la direction de plus grande pente. Vue de dessus regarde à la verticale, ce qui respecte les angles de la carte. Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (Espace lance le balayage, ← → tournent u, H masque les réponses).

Voir aussi