Math

Çok değişkenli analiz · Gradyan

Gradyan

Türevlenebilir bir fonksiyonun gradyanı, kısmi türevlerinin vektörüdür: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Sıfır olmadığı yerde fonksiyonun en hızlı arttığı yönü gösterir; uzunluğu da bu en dik eğimdir.

01

Bu görselleştirmede gradyan

Bir f(x,y)f(x, y) fonksiyonunun gradyanı, ∇f\nabla f veya grad⁡f\operatorname{grad} f ile gösterilir ve kısmi türevlerinin ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y) vektörüdür. ff türevlenebilir ve ∇f≠0\nabla f \ne 0 olduğunda, ff için en hızlı artış yönünü gösterir; uzunluğu da bu en hızlı artış hızıdır. Bu sayfa gradyanı altı yüzeyde, ff fonksiyonunun seçilen yöndeki değişim hızı olan yönlü türevle birlikte gösterir.

Cam yüzey z=f(x,y)z = f(x, y) grafiğidir; eş yükselti haritası zemindedir. Mavi P noktası yüzeyde (a,b)(a, b) üzerinde yer alır. Kırmızı u oku, pozitif xx ekseninden saat yönünün tersine ölçülen θ\theta açısındaki yatay bir birim vektördür. u boyunca bir birim yatay adımda teğet düzlemi sarı parça kadar yükselir: bu yönlü türevdir.

Yönlü türev
Duf(a,b)=∇f⋅u=fxcos⁡θ+fysin⁡θ.D_u f(a, b) = \nabla f \cdot u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta.

Yönlü türev, yönü el=(cos⁡α,cos⁡β)e_l = (\cos\alpha, \cos\beta) birim vektörüyle belirterek ∂f∂l\dfrac{\partial f}{\partial l} şeklinde de yazılır. Burada θ\theta, pozitif xx ekseninden saat yönünün tersine ölçülür; dolayısıyla cos⁡α=cos⁡θ\cos\alpha = \cos\theta ve cos⁡β=sin⁡θ\cos\beta = \sin\theta olur. Mavi halka, P çevresindeki birim çemberin teğet düzlemine yükseltilmiş halidir. En yüksek noktası gradyan yönünde, P'nin ∣∇f∣|\nabla f| kadar üzerindedir, çünkü

En dik eğim
Duf=∣∇f∣cos⁡φ≤∣∇f∣,D_u f = |\nabla f| \cos\varphi \le |\nabla f|,

burada φ\varphi, u ile ∇f\nabla f arasındaki açıdır. Eğim gradyan yönünde en büyük, P'den geçen eş yükselti eğrisi boyunca sıfır ve gradyanın ters yönünde en negatiftir.

02

Dikkat edilecekler

  • Gradyan, P'den geçen eş yükselti eğrisine diktir. Eşit ff aralıklarıyla çizilen eğriler, ∣∇f∣|\nabla f| büyük olduğunda sıklaşır.
  • u bir tam tur dönerken (a,b)+(Duf) u(a, b) + (D_u f)\,u harita noktası, çapı (a,b)(a, b) ile (a,b)+∇f(a, b) + \nabla f arasında uzanan bir çember çizer. ∇f=0\nabla f = 0 olduğunda çember noktanın kendisine küçülür.
  • En dik çıkış yönünün zirveyi göstermesi gerekmez: uzamış bir tepede iki yön farklıdır.
  • Kısmi türevler yönlü türevlerdir: u=(1,0)u = (1, 0), fxf_x verir; u=(0,1)u = (0, 1) ise fyf_y verir.
  • ∇f=0\nabla f = 0 olduğunda (kritik nokta), her yönde eğim 0'dır ve en dik yön yoktur. Eyer noktası, bu türden olup ne yerel maksimum ne de yerel minimum olan bir noktadır.
  • Sarı yükselme teğet düzlemine aittir: doğrusal bir yaklaşımdır. u boyunca kısa bir hh yatay adımında yüzeyin kendisi f((a,b)+hu)−f(a,b)≈h Duff((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f kadar yükselir; hh küçüldükçe uyum iyileşir.
03

Nerede kullanılır?

  • Makine öğrenmesi modellerini eğitmenin temel yöntemi olan gradyan inişi, gradyanın ters yönünde tekrarlanan küçük adımlarla fonksiyonun değerini azaltır: x←x−η ∇f(x)x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x). ∇f≠0\nabla f \ne 0 olduğunda yeterince küçük bir adım aşağı iner; ancak yöntem en düşük noktaya ulaşmak yerine yerel bir minimumda durabilir veya bir eyer yakınında çok yavaş ilerleyebilir.
  • Gradyan seviye eğrilerine dik olduğundan onların normal yönünü verir. Düzgün bir ff fonksiyonu, g=cg = c eğrisi üzerinde maksimum veya minimum değer alıyorsa (∇g≠0\nabla g \ne 0 koşuluyla), iki gradyan paraleldir: ∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g. Lagrange çarpanlarının temel fikri budur.
  • Fizikte korunumlu bir kuvvet, potansiyel enerjinin gradyanının eksilisidir: F=−∇UF = -\nabla U. Enerjinin en hızlı azaldığı yönde, daha düşük enerjiye doğru iter.
04

Kontroller

  • Yüzeydeki P'yi, haritadaki izdüşümünü veya kırmızı okun ucunu sürükleyin. Önemli noktalar ve yönler (+x+x, +y+y, ∇f\nabla f, ⊥∇f\perp\nabla f) tam değerlere geçer; önemli bir kritik noktada ∇f\nabla f tam olarak 0'dır.
  • Tara, u vektörünü tam tur döndürür ve en dik yönde durur. Üstten görünüm, haritadaki açıların doğru göründüğü tam tepeden bakışı açar. Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (Boşluk tarar, ← → u vektörünü döndürür, H yanıtları gizler).
05

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Gradient (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.6 Directional Derivatives and the Gradient (İngilizce).