기울기 벡터

이 시각화에서 보는 기울기 벡터

살펴볼 점

• 기울기 벡터는 P를 지나는 등고선에 수직입니다. $f$가 같은 간격으로 변하는 등고선들은 $|\nabla f|$가 클수록 촘촘합니다.
• u가 한 바퀴 돌 때 지도 위 점 $(a, b) + (D_u f)\,u$는 $(a, b)$에서 $(a, b) + \nabla f$까지를 지름으로 하는 원을 그립니다. $\nabla f = 0$인 곳에서는 원이 그 점 하나로 줄어듭니다.
• 가장 가파른 오르막 방향이 꼭대기를 향할 필요는 없습니다. 길쭉한 언덕에서는 두 방향이 다릅니다.
• 편미분계수는 특정 방향의 방향도함수입니다. $u = (1, 0)$에서는 $f_x$, $u = (0, 1)$에서는 $f_y$입니다.
• $\nabla f = 0$인 임계점에서는 모든 방향의 기울기가 0이며 가장 가파른 방향이 없습니다. 안장점은 이런 점 중 극대점도 극소점도 아닌 점입니다.
• 노란 높이 변화는 접평면에서 잰 값으로, 선형 근사입니다. u 방향으로 짧은 수평 거리 $h$만큼 움직일 때 실제 곡면의 높이 변화는 $f((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f$이며, $h$가 작을수록 두 값이 잘 맞습니다.

어디에 쓰일까요?

• 머신러닝 모델 학습의 기본 방법인 경사하강법은 기울기 벡터의 반대 방향으로 작은 걸음을 반복하여 함수값을 낮춥니다. 즉, $x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x)$입니다. $\nabla f \ne 0$인 곳에서는 충분히 작은 걸음이 내리막으로 향하지만, 이 방법은 가장 낮은 점에 도달하는 대신 국소 최솟값에 머물거나 안장점 근처에서 느려질 수 있습니다.
• 기울기 벡터는 등고선에 수직이므로 법선 방향을 알려 줍니다. 매끄러운 함수 $f$가 곡선 $g = c$ 위에서 최댓값 또는 최솟값을 갖고 $\nabla g \ne 0$이면 두 기울기 벡터는 평행하여 $\nabla f = \lambda \nabla g$입니다. 라그랑주 승수의 기본 아이디어입니다.
• 물리학에서 보존력은 퍼텐셜 에너지의 기울기 벡터에 마이너스를 붙인 $F = -\nabla U$입니다. 에너지가 가장 빠르게 줄어드는 방향으로, 더 낮은 에너지를 향해 밀어 줍니다.

조작 방법

• 곡면 위 P나 지도 위 수직 투영점, 또는 빨간 화살표의 끝을 드래그하세요. 주요 지점과 주요 방향($+x$, $+y$, $\nabla f$, $\perp\nabla f$)은 정확한 값으로 이동하며, 주요 임계점에서는 $\nabla f$가 정확히 0입니다.
• 한 바퀴 탐색은 u를 한 바퀴 돌린 뒤 가장 가파른 방향에서 멈춥니다. 위에서 보기는 수직으로 내려다보아 지도 위 각을 그대로 보여 줍니다. 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면입니다. 스페이스로 한 바퀴 탐색, ← →로 u 회전, H로 답 숨기기를 실행합니다.

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