이 시각화에서 살펴보는 편미분계수
이변수 함수 의 에서의 x에 대한 편미분계수는 또는 로 쓰며, 일변수 함수 의 에서의 보통 미분계수입니다. y를 고정하고 x만 바꿉니다. y에 대한 편미분계수도 같은 방식으로 x를 고정합니다. 이 페이지는 여섯 곡면에서 두 편미분계수를 보여 줍니다.
(또는 )로 쓰기도 하며, 점 를 로 쓰기도 합니다. 유리 곡면은 의 그래프이고, 바닥에는 등고선도가 있습니다. 파란 점 P를 지나는 수직 평면 가 곡면을 잘라 만든 곡선, 즉 단면은 의 그래프입니다. 회색 화살표는 x방향으로 1만큼 이동한 거리입니다. 그 끝에서 파란 접선까지의 높이 변화는 위쪽을 양수, 아래쪽을 음수로 하는 부호 있는 변화량으로, P에서의 단면 기울기 입니다. 화면 위 창에는 같은 단면을 일반 그래프로 그립니다. 를 고르면 절단면이 로 돌아갑니다.
살펴볼 점
- 편미분계수는 고정한 좌표를 포함해 P의 두 좌표 모두에 의존할 수 있습니다. 단면을 옮기면 곡선이 바뀌고 기울기도 바뀔 수 있습니다. 에서는 모든 x방향 단면이 직선이며, 그 기울기 은 어느 단면을 택했는지에만 달려 있습니다.
- 은 P에서 x방향 단면이 평평하다는 것만 말해 줍니다. 미분 가능한 함수가 정의역 내부의 점에서 극댓값이나 극솟값을 가지면 두 편미분계수는 모두 0입니다. 하지만 이것만으로는 충분하지 않습니다. 안장점에서도 둘 다 0입니다.
- 높이 변화는 곡면이 아니라 접선에서 잽니다. 간격 에서 실제 단면의 변화량은 대략 이며, 가 작을수록 더 가깝습니다.
- 3D 화면은 z를 x, y와 같은 축척으로 그려 실제 비율을 유지합니다. 하지만 화면에서 직선이 얼마나 가파르게 보이는지는 보는 각도에 따라 달라집니다. 단면 창은 같은 축척으로 정면에서 그리므로 기울기를 직접 비교할 수 있습니다.
어디에 쓰일까요?
- 두 편미분계수를 모으면 기울기 벡터 가 됩니다. f가 미분 가능한 곳에서는 레버를 둘 다에 놓았을 때 보이는 두 접선이 접평면 에 놓입니다. 두 편미분계수가 존재한다는 것만으로 접평면의 존재가 보장되지는 않습니다.
- 어떤 양이 여러 변수에 의존할 때, 편미분계수는 나머지를 고정하고 그중 하나만 바꿀 때의 반응을 잽니다. 예를 들어 부피를 일정하게 유지할 때 온도에 따라 기체 압력이 얼마나 빠르게 올라가는지를 나타냅니다.
조작 방법
- 곡면 위의 P나 지도 위의 발점을 드래그하세요. 주요 점 버튼은 정확한 값으로 이동합니다. 주요 임계점에서는 두 편미분계수가 정확히 0입니다.
- 단면의 레버는 변하는 변수를 고릅니다. 는 y를 고정하고 x방향으로 자르며, 은 x를 고정하고 y방향으로 자릅니다. 가운데 둘 다는 두 단면을 함께 보여 줍니다. 단면 그래프는 창을 열고 닫습니다. 단면이 하나면 창 안에서도 단면을 따라 P를 드래그할 수 있습니다. 점의 두 휠 중 하나는 단면을 따라 P를 움직이고, 다른 하나는 절단면을 옮깁니다. 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다(← →로 단면을 따라 P 이동, ↑ ↓로 절단면 이동, X·Y·B로 레버 전환, H로 정답 숨기기).
관련 개념
더 읽어 보기: Wikipedia: Partial derivative (영어); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (영어).