Частная производная: интерактивная трёхмерная визуализация

01

Частная производная в этой визуализации

Для функции двух переменных $f(x, y)$ частная производная по x в $(a, b)$ , обозначаемая $\partial f/\partial x$ или $f_x$ , — обычная производная функции одной переменной $x \mapsto f(x, b)$ в $x = a$ : y фиксировано, меняется только x. Частная производная по y аналогично фиксирует x. Здесь обе показаны на шести поверхностях.

Частная производная

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

Другие обозначения — $f_x(a, b)$ (или $f'_x(a, b)$ ), а точка $(a, b)$ записывается как $(x_0, y_0)$ . Стеклянная поверхность — график $z = f(x, y)$ , с картой линий уровня на полу. Вертикальная плоскость $y = b$ через синюю точку P пересекает поверхность по кривой, сечению: графику $x \mapsto f(x, b)$ . Серая стрелка — шаг 1 в направлении x; подъём от её конца до синей касательной, вертикальное изменение со знаком (вверх положительное, вниз отрицательное), равен $\partial f/\partial x$ , наклону сечения в P. Окно показывает то же сечение как обычный график. Выбор $\partial f/\partial y$ поворачивает плоскость к $x = a$ .

02

На что обратить внимание

Частная производная может зависеть от обеих координат P, включая фиксированную. Перемещайте сечение — кривая меняется, и её наклон может меняться вместе с ней: для $f = xy/4$ каждое сечение вдоль x — прямая, а её наклон $\partial f/\partial x = y/4$ зависит только от выбранного сечения.
$\partial f/\partial x = 0$ говорит лишь, что сечение вдоль x горизонтально в P. Если дифференцируемая функция имеет локальный максимум или минимум во внутренней точке области определения, обе частные производные равны 0; но одного этого недостаточно: в седловой точке обе тоже равны 0.
Подъём измеряется на касательной, а не на поверхности: за шаг $h$ само сечение меняется примерно на $h\,\partial f/\partial x$ , и тем точнее, чем меньше $h$ .
Трёхмерный вид сохраняет пропорции, z в том же масштабе, что x и y, но видимая крутизна линии зависит от угла обзора. Окно сечения показывает его прямо перед вами с одинаковыми масштабами осей, поэтому наклоны там можно сравнивать непосредственно.

03

Где это применяется

Две частные производные вместе составляют градиент $\nabla f = (f_x, f_y)$ . Там, где f дифференцируема, две касательные, показанные при положении Обе, лежат в касательной плоскости $z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b)$ . Существования обеих частных производных самого по себе недостаточно для существования касательной плоскости.
Когда величина зависит от нескольких других, частная производная измеряет её реакцию на изменение одной при фиксированных остальных, например скорость роста давления газа с температурой при постоянном объёме.

04

Управление

Перетаскивайте P на поверхности или её проекцию на карте. Ключевые точки переходят к точным значениям; в ключевой критической точке обе частные производные точно равны 0.
Переключатель в разделе Сечение выбирает меняющуюся переменную: $\partial f/\partial x$ фиксирует y и сечёт вдоль x, $\partial f/\partial y$ фиксирует x и сечёт вдоль y, а среднее положение Обе показывает два сечения вместе. График сечения открывает или закрывает окно; при одном сечении P можно перетаскивать вдоль него и там. Из двух колёс в разделе Точка одно ведёт P вдоль сечения, другое перемещает сечение. Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора (← → ведут P вдоль сечения, ↑ ↓ перемещают сечение, X, Y и B меняют переключатель, H скрывает ответы).

05

Связанные темы

D05Производная
E10Карта линий уровняПланируется
E13Касательная плоскость
E15Градиент
E16Критерий по вторым частным производнымПланируется

Дополнительные материалы: Википедия: Partial derivative (Английский); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (Английский).