Касательная плоскость: интерактивная 3D-визуализация

01

Касательная плоскость в этой визуализации

Если $f(x, y)$ дифференцируема в $(a, b)$ , поверхность $z = f(x, y)$ имеет там касательную плоскость: график линейного приближения, или линеаризации, $L$ . Она строится по двум частным производным и является единственной плоскостью, к которой поверхность всё теснее прилегает при приближении к точке. Точка $(a, b)$ также обозначается $(x_0, y_0)$ .

Касательная плоскость

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

Стеклянная поверхность — график f, синяя плоскость — плоскость в P, а синие линии в ней — касательные к двум сечениям поверхности через P (вдоль x и вдоль y): они задают плоскость. Красный квадрат на карте — $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . Уменьшение w увеличивает вид вокруг P с одинаковым коэффициентом по x, y и z. Жёлтый отрезок отмечает наибольший вертикальный зазор между поверхностью и плоскостью на квадрате (в пределах области определения, оценка по мелкой сетке); в показаниях он делится на w. Дифференцируемость означает именно стремление этого отношения к 0, то есть наибольший зазор равен o(w):

Дифференцируема в (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

02

На что обратить внимание

Если часть второго порядка функции f в P не равна нулю (холм, волны в большинстве точек), то при малом w зазор убывает как $w^2$ , и каждое десятикратное увеличение уменьшает отношение примерно в десять раз; на чаше и седле это выполняется точно в каждой точке. Если часть второго порядка равна нулю, зазор убывает быстрее: в начале координат для волн отношение уменьшается в сто раз при десятикратном увеличении.
Частных производных недостаточно. На складке (так эта страница называет классический контрпример $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ ) обе производные в начале координат равны 0 и дают плоскость $z = 0$ , но наибольший зазор при любом увеличении остаётся $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ в четырёх углах квадрата: касательной плоскости там нет. В вершине конуса не существуют даже частные производные. Во всех остальных точках обе поверхности дифференцируемы.
Касательная плоскость может пересекать поверхность: в седловой точке она горизонтальна, а поверхность в одном направлении лежит выше неё, в другом — ниже.
3D-вид использует перспективу, поэтому видимые наклоны зависят от точки наблюдения. Показания дают уравнение плоскости с округлёнными числами (≈), а наибольший зазор — оценка по выборке, не гарантированная граница.

03

Где это применяется

Линейное приближение: вблизи $(a, b)$ , $f(x, y) \approx L(x, y)$ ; изменение $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ — полный дифференциал. Вектор $(f_x, f_y, -1)$ перпендикулярен плоскости.
В численных методах каждый шаг итерации строится по локальным производным: метод Ньютона для системы уравнений решает линеаризованные уравнения, а градиентный спуск следует градиенту, задающему наклон касательной плоскости.

04

Управление

Двигайте ползунок к 0.001 для увеличения; w → 0 увеличивает в десять раз за шаг. На виде всей поверхности (w = 1) перетаскивайте P по поверхности или её проекцию на карте; колёсики и ключевые точки перемещают её при любом увеличении. «Сечения» показывает два сечения и их касательные; «Карта» показывает ваше положение.
Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора (пробел увеличивает, ← → меняют w в десять раз, H скрывает ответы).

05

Связанные темы

E12Частная производная
E15Градиент
D07Линейное приближение
E10Карта линий уровняПланируется
E16Критерий по вторым частным производнымПланируется

Дополнительные материалы: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (Английский).