Bidang Singgung: Visualisasi 3D Interaktif

01

Bidang singgung dalam visualisasi ini

Jika $f(x, y)$ terdiferensialkan di $(a, b)$ , permukaan $z = f(x, y)$ memiliki bidang singgung di sana: grafik pendekatan linear, atau linearisasi, $L$ . Bidang ini dibangun dari kedua turunan parsial, dan merupakan satu bidang yang makin rapat didekati permukaan saat mendekati titik tersebut. Titik $(a, b)$ juga ditulis $(x_0, y_0)$ .

Bidang singgung

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

Permukaan kaca adalah grafik f, lembaran biru adalah bidang di P, dan garis biru di dalamnya adalah garis singgung dua penampang permukaan melalui P (sepanjang x dan y): keduanya merentang bidang. Persegi merah pada peta adalah $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . Memperkecil w memperbesar tampilan di sekitar P, dengan faktor sama pada x, y, dan z. Ruas kuning menandai celah vertikal terbesar antara permukaan dan bidang pada persegi (bagian dalam domain, diperkirakan pada kisi halus); bacaan membaginya dengan w. Terdiferensialkan tepat berarti rasio ini menuju 0, yaitu celah terbesar o(w):

Terdiferensialkan di (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

02

Hal yang perlu diperhatikan

Saat bagian orde kedua f di P tidak nol (bukit, gelombang di kebanyakan titik), celah menyusut seperti $w^2$ setelah w kecil, sehingga setiap pembesaran sepuluh kali membuat rasio sekitar sepuluh kali lebih kecil; pada mangkuk dan pelana, ini berlaku eksak di setiap titik. Saat bagian orde kedua nol, celah menyusut lebih cepat: di titik asal gelombang, seratus kali tiap pembesaran sepuluh kali.
Turunan parsial tidak cukup. Pada lipatan (nama halaman ini untuk contoh penyangkal klasik $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ ), keduanya 0 di titik asal dan memberikan bidang $z = 0$ , tetapi celah terbesar tetap $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ , pada empat sudut persegi, di setiap pembesaran: tanpa bidang singgung di sana. Pada ujung kerucut, turunan parsial bahkan tidak ada. Di tempat lain, kedua permukaan terdiferensialkan.
Bidang singgung dapat melintasi permukaan: pada titik pelana, bidangnya horizontal, dengan permukaan di atasnya dalam satu arah dan di bawah dalam arah lain.
Tampilan 3D digambar dalam perspektif, jadi kemiringan di layar bergantung pada sudut pandang. Bacaan menampilkan persamaan bidang dengan angka dibulatkan (≈), dan celah terbesar adalah estimasi sampel, bukan batas.

03

Penerapannya

Pendekatan linear: di dekat $(a, b)$ , $f(x, y) \approx L(x, y)$ ; perubahan $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ adalah diferensial total. Vektor $(f_x, f_y, -1)$ normal terhadap bidang.
Dalam metode numerik, informasi turunan lokal membangun tiap langkah iterasi: metode Newton untuk sistem persamaan menyelesaikan persamaan yang dilinearkan, dan penurunan gradien mengikuti gradien, yang merupakan kemiringan bidang singgung.

04

Kontrol

Geser penggeser menuju 0.001 untuk memperbesar; w → 0 memperbesar sepuluh kali tiap tahap. Pada tampilan seluruh permukaan (w = 1), seret P pada permukaan atau proyeksinya pada peta; roda dan titik penting menggesernya pada pembesaran apa pun. Penampang menampilkan dua penampang beserta garis singgung; Peta menunjukkan posisi Anda.
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (Spasi memperbesar, ← → mengubah w sepuluh kali lipat, H menyembunyikan jawaban).

05

Terkait

E12Turunan parsial
E15Gradien
D07Pendekatan linear
E10Peta konturDirencanakan
E16Uji turunan parsial keduaDirencanakan

Bacaan lanjutan: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (Bahasa Inggris).