Pendekatan linear

Pendekatan linear fungsi $f$ di titik $a$, juga disebut pendekatan garis singgung atau linearisasi lokal, adalah garis singgung $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. Pendekatan ini ada saat $f$ terdiferensialkan di $a$. Juga ditulis $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$, dengan $x_0$ untuk $a$. Halaman ini menampilkannya untuk tujuh fungsi: empat mulus, dan tiga tidak terdiferensialkan di 0.

Grafik berpusat secara horizontal pada titik biru P $= (a, f(a))$, dengan skala sama pada kedua sumbu. Langkah merah Δx juga menentukan pembesaran: tampilan menyusut bersamanya, meregang seperlunya agar P, kenaikan garis singgung, dan Q tetap terlihat. Sepanjang langkah itu, garis singgung naik sebesar diferensial biru $dy = f'(a)\,\Delta x$, sementara kurva naik sebesar $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. Panah kuning adalah galat:

Fungsi terdiferensialkan di $a$ tepat jika ada bilangan berhingga $m$ dengan $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$, yaitu galat dibagi $h$ menuju 0 saat $h \to 0$ dari kedua sisi; lalu $m = f'(a)$. Halaman ini hanya menggambar langkah ke kanan ($h = \Delta x > 0$), sehingga gambar mengilustrasikan, bukan membuktikannya; keberadaan garis singgung dibaca dari rumus setiap fungsi. Karena tampilan menyusut bersama $\Delta x$, $|E|/\Delta x$ secara kasar menyatakan seberapa jauh, dalam ukuran tampilan, kurva menyimpang dari garis di Q, itulah sebabnya kurva terdiferensialkan tampak makin lurus saat terus diperbesar. Jika $f''(a) \ne 0$, maka $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ untuk $\Delta x$ kecil, sehingga setelah $\Delta x$ kecil, tiap pembesaran sepuluh kali membuat galat sekitar seratus kali lebih kecil. Saat $f''(a) = 0$, seperti $\sin x$ di 0, galat menyusut lebih cepat lagi.