Math

Kalkulus · Fungsi turunan

Fungsi turunan

Fungsi turunan f′ memberikan, untuk setiap x, kemiringan garis singgung grafik f, di mana pun kemiringan itu ada. Grafiknya berada di bawah f: pada interval dengan f′ positif, f meningkat; saat negatif, f menurun; pada puncak atau lembah tempat f terdiferensialkan, f′ adalah 0.

01

Fungsi turunan dalam visualisasi ini

Fungsi turunan dari ff, ditulis f′(x)f'(x) (juga ditulis y′y' atau dydx\frac{dy}{dx}), memasangkan setiap xx dengan turunan ff di sana: kemiringan garis singgung grafik di xx. Saat kemiringan itu tidak ada, f′f' tidak memiliki nilai. Halaman ini menggambar ff dan f′f' bertumpuk dengan skala xx yang sama, untuk delapan fungsi.

Fungsi turunan
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Juga ditulis f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, turunan di titik x0x_0; membiarkan x0x_0 berubah memberikan fungsi turunan, dan aa pada halaman ini adalah x0x_0. Titik biru P berada pada ff di x=ax = a, beserta garis singgungnya. Segitiga kecil di bawah garis singgung memiliki jarak mendatar 1, jadi kenaikannya adalah kemiringan garis singgung. Angka bertanda yang sama digambar, pada skala grafik bawah sendiri, sebagai batang kuning yang berakhir di titik (a,f′(a))(a, f'(a)). Saat aa bergerak, titik itu mengikuti grafik f′; Telusuri menggambarnya dari kiri ke kanan.

Dua baris di antara grafik merupakan tabel tanda: baris atas menyatakan apakah ff naik (↗) atau turun (↘), baris bawah memberi tanda f′f' (+ atau −, dengan 0 saat f′=0f' = 0 dan Tidak ada saat f′f' tidak ada).

02

Hal yang perlu diperhatikan

  • Pada interval dengan f′>0f' > 0, ff meningkat; dengan f′<0f' < 0, fungsi menurun. Pernyataan kebalikannya lebih lemah: x3x^3 meningkat di mana-mana, tetapi f′(0)=0f'(0) = 0. Puncak atau lembah di dalam interval tempat ff terdiferensialkan memiliki f′=0f' = 0; tetapi f′=0f' = 0 tidak menjamin adanya puncak atau lembah (lagi-lagi x3x^3 di 0), dan puncak atau lembah dapat berada di tempat f′f' tidak ada, seperti pada titik sudut ∣x∣|x|.
  • Saat arah lengkungan ff berubah (titik belok) dan f′′f'' berganti tanda, f′f' memiliki maksimum atau minimum lokal. Pada sin⁡x\sin x, titik belok berada di atas puncak dan lembah cos⁡x\cos x, tempat sin⁡x\sin x paling curam. Ini tidak berlaku untuk setiap titik belok: x3\sqrt[3]{x} memilikinya di 0, tempat garis singgung vertikal dan f′f' tidak memiliki nilai.
  • Grafik bawah menunjukkan kemiringan, bukan nilai ff: tingginya di xx menyatakan seberapa cepat ff berubah di sana. Kedua grafik memiliki skala vertikal sendiri, dipilih agar masing-masing muat.
  • Pada titik sudut ∣x∣|x|, f′f' melompat dari −1-1 ke 11 dan f′(0)f'(0) tidak ada. Pada titik lancip x2/3x^{2/3}, f′f' menuju −∞-\infty dari kiri dan +∞+\infty dari kanan; pada garis singgung vertikal x3\sqrt[3]{x}, menuju +∞+\infty dari kedua sisi. Masing-masing fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak terdiferensialkan di sana.
  • exe^x adalah turunannya sendiri: grafik bawah mengulangi grafik atas.
03

Kontrol

  • Seret P, titik pada f′f', atau di mana saja pada salah satu grafik untuk menggeser aa; atau putar roda di bawah Titik dan tekan titik penting. Telusuri menjalankan P dari ujung kiri ke kanan dan menggambar f′f' di belakangnya, berhenti sejenak pada tiap puncak, lembah, titik belok, dan titik tanpa f′f' saat namanya menyala di tabel tanda; P tetap di ujung kanan. Ekstremum & titik belok menggambar garis bantu putus-putus melalui puncak, lembah, dan titik belok ff, turun melalui grafik f′f', serta menamainya di tabel tanda.
  • Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (Spasi menelusuri, ← → menggeser aa, H menyembunyikan grafik f′f'; setelah itu grafik hanya muncul di tempat yang telah dilalui P).
04

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Derivative (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (Bahasa Inggris).