Turunan: Visualisasi Interaktif

01

Turunan dalam visualisasi ini

Turunan fungsi $f$ di titik $a$ , ditulis $f'(a)$ atau $\frac{df}{dx}$ pada $x = a$ , adalah kemiringan garis singgung grafik di sana: laju perubahan sesaat $f$ . Turunan didefinisikan sebagai limit kemiringan garis sekan. Halaman ini membangun limit itu pada kurva mulus, titik sudut, titik lancip, garis singgung vertikal dan lompatan, serta pada grafik posisi–waktu.

Titik biru P terletak pada kurva di $x = a$ , titik merah Q di $x = a + h$ . Garis kuning yang melewati keduanya adalah garis sekan; kemiringannya adalah hasil bagi selisih

Hasil bagi selisih

\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Garis singgung di P memiliki kemiringan yang sama dengan turunan, jika limit ini ada dan berhingga:

Turunan

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Saat Q bergeser mendekati P, garis sekan berubah menjadi garis singgung dan kemiringannya mendekati $f'(a)$ . Limitnya harus sama, baik Q datang dari kiri maupun kanan. Halaman ini tidak pernah membiarkan $h$ mencapai 0, yang akan membuat hasil baginya menjadi $0/0$ . Dengan $x_0$ untuk $a$ dan $\Delta x$ untuk $h$ , turunan juga ditulis $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

02

Hal yang perlu diperhatikan

Pada $x^2$ , $x^3 - 3x$ , $\sin x$ , dan $e^x$ , kemiringan dari kedua sisi mendekati angka yang sama.
$|x|$ di 0: kedua sisi mendekati $-1$ dan $+1$ . Titik sudut tidak memiliki turunan, meskipun fungsinya kontinu di sana.
$x^{2/3}$ di 0: $-\infty$ dan $+\infty$ , sebuah titik lancip.
$\sqrt[3]{x}$ di 0: kedua sisi membesar tanpa batas. Garis singgungnya vertikal, jadi tidak ada turunan berhingga.
Contoh lompatan di 1: fungsi yang tidak kontinu tidak dapat terdiferensialkan.

03

Penerapannya

Kecepatan adalah turunan posisi, seperti pada mode Gerak di halaman ini. Secara umum, turunan adalah laju perubahan suatu besaran: biaya marginal dalam ekonomi, laju reaksi dalam kimia, laju pertumbuhan dalam biologi.
Di dekat $a$ , garis singgung adalah pendekatan garis lurus terbaik, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ . Metode Newton untuk menyelesaikan persamaan mengikuti garis singgung seperti ini.
Pada maksimum atau minimum di dalam suatu interval, fungsi yang terdiferensialkan memiliki $f' = 0$ : cara kalkulus menemukan nilai terbaik.

04

Kontrol

Seret Q, atau gunakan penggeser |h| atau tombol h → 0 pada panel, untuk mengubah $h$ . Kiri / Kanan menentukan tandanya.
Seret P atau putar kenop Titik untuk memindahkan $a$ . Seret latar untuk menggeser tampilan; gunakan + dan − untuk memperbesar atau memperkecil.
Bandingkan & catat membuka jendela yang memplot kemiringan garis sekan terhadap $h$ dari kedua sisi dan mengumpulkan nilai yang dilalui saat mendekat. Nilai tetap dikumpulkan saat jendela ditutup.
Gerak mengubah kurva menjadi posisi $s(t)$ : kemiringan garis sekan menjadi kecepatan rata-rata, turunannya menjadi kecepatan sesaat $v(t) = s'(t)$ .
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor, dengan teks besar dan kontrol papan ketik (Spasi menjalankan h → 0, Page Up / Page Down beralih antar sorotan, H menyembunyikan turunan).

05

Terkait

D06Fungsi turunan
D07Pendekatan linear
D10Laju terkaitDirencanakan
D01Limit

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Derivative (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (Bahasa Inggris).