Dérivée : visualisation interactive

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La dérivée dans cette visualisation

La dérivée d’une fonction $f$ en un point $a$ , notée $f'(a)$ ou $\frac{df}{dx}$ en $x = a$ , est la pente de la tangente à sa courbe en ce point : le taux de variation instantané de $f$ . Elle est définie comme une limite de pentes de sécantes. Cette page construit cette limite sur des courbes régulières, aux points anguleux, aux points de rebroussement, aux tangentes verticales et aux discontinuités par saut, ainsi que sur un graphique position-temps.

Le point bleu P est situé sur la courbe en $x = a$ , le point rouge Q en $x = a + h$ . La droite jaune qui les relie est une sécante ; sa pente est le quotient de différences

Quotient de différences

\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

La tangente en P a pour pente la dérivée, lorsque cette limite existe et est finie :

Dérivée

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Lorsque Q se rapproche de P, la sécante tend vers la tangente et sa pente se rapproche de $f'(a)$ . La limite doit être la même, que Q arrive par la gauche ou par la droite. La page ne laisse jamais $h$ atteindre 0, où le quotient serait $0/0$ . En notant $x_0$ pour $a$ et $\Delta x$ pour $h$ , la dérivée s’écrit aussi $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

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À observer

Pour $x^2$ , $x^3 - 3x$ , $\sin x$ et $e^x$ , les pentes des deux côtés tendent vers le même nombre.
$|x|$ en 0 : les deux côtés tendent vers $-1$ et $+1$ . Un point anguleux n’a pas de dérivée, même si la fonction y est continue.
$x^{2/3}$ en 0 : $-\infty$ et $+\infty$ , un point de rebroussement.
$\sqrt[3]{x}$ en 0 : les deux côtés croissent sans borne. La tangente est verticale ; il n’y a donc pas de dérivée finie.
L’exemple du saut en 1 : une fonction qui n’est pas continue ne peut pas être dérivable.

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Applications

La vitesse est la dérivée de la position, comme dans le mode Mouvement de cette page. Plus généralement, la dérivée est le taux de variation d’une quantité : coût marginal en économie, vitesse de réaction en chimie, taux de croissance en biologie.
Au voisinage de $a$ , la tangente donne la meilleure approximation par une droite, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ . La méthode de Newton pour résoudre des équations s’appuie sur des tangentes comme celle-ci.
En un maximum ou un minimum situé à l’intérieur d’un intervalle, une fonction dérivable vérifie $f' = 0$ : c’est ainsi que l’analyse permet de rechercher une valeur optimale.

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Commandes

Faites glisser Q, ou utilisez le curseur |h| ou le bouton h → 0 du panneau, pour modifier $h$ . Gauche / Droite en fixe le signe.
Faites glisser P ou tournez le bouton Point pour déplacer $a$ . Faites glisser le fond pour déplacer la vue ; utilisez + et − pour zoomer.
Comparer et enregistrer ouvre une fenêtre qui trace la pente de la sécante en fonction de $h$ des deux côtés et recueille les valeurs obtenues pendant l’approche. Le recueil des valeurs continue même lorsque la fenêtre est fermée.
Mouvement transforme la courbe en une position $s(t)$ : la pente de la sécante devient une vitesse moyenne et la dérivée, la vitesse instantanée $v(t) = s'(t)$ .
Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection, avec de grands caractères et des commandes au clavier (Espace lance h → 0, Page Up / Page Down parcourent les vues choisies, H masque la dérivée).

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Voir aussi

D06Fonction dérivée
D07Approximation linéaire
D10Taux de variation liésÀ venir
D01Limite

Pour aller plus loin: Wikipédia: Derivative (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (Anglais).