미분계수

이 시각화에서 보는 미분계수

살펴볼 점

• $x^2$, $x^3 - 3x$, $\sin x$, $e^x$에서는 양쪽 기울기가 같은 수에 가까워집니다.
• 0에서의 $|x|$: 양쪽이 각각 $-1$, $+1$에 가까워집니다. 꺾인 점에서는 함수가 연속이어도 미분계수가 없습니다.
• 0에서의 $x^{2/3}$: $-\infty$, $+\infty$인 뾰족점입니다.
• 0에서의 $\sqrt[3]{x}$: 양쪽 기울기가 한없이 커집니다. 접선은 수직이므로 유한한 미분계수가 없습니다.
• 1에서 점프하는 예제: 연속이 아닌 함수는 미분 가능하지 않습니다.

어디에 쓰일까요?

• 속도는 위치의 도함수입니다. 이 페이지의 운동 모드가 그 예입니다. 일반적으로 미분계수는 어떤 양의 변화율을 나타냅니다. 경제학의 한계비용, 화학의 반응 속도, 생물학의 성장률 등이 있습니다.
• $a$ 근처에서 접선은 가장 좋은 직선 근사인 $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$입니다. 방정식을 푸는 뉴턴 방법은 이런 접선을 따라갑니다.
• 미분 가능한 함수가 구간 내부에서 극댓값이나 극솟값을 가지면 $f' = 0$입니다. 미적분학으로 최적의 값을 찾는 원리입니다.

조작 방법

• Q를 드래그하거나 패널의 |h| 슬라이더 또는 h → 0 버튼으로 $h$ 값을 바꾸세요. 왼쪽 / 오른쪽으로 부호를 정합니다.
• P를 드래그하거나 점 다이얼을 돌려 $a$ 값을 바꾸세요. 배경을 드래그하면 화면이 이동하고, +와 −로 확대·축소합니다.
• 비교 및 기록을 누르면 양쪽 방향에서 $h$에 따른 할선의 기울기를 그리는 창이 열리고, 다가가는 과정의 값이 기록됩니다. 창을 닫아도 기록은 계속됩니다.
• 운동은 곡선을 위치 $s(t)$로 해석합니다. 할선의 기울기는 평균 속도가 되고, 미분계수는 순간 속도 $v(t) = s'(t)$가 됩니다.
• 발표 모드는 프로젝터를 위한 전체 화면으로, 큰 글씨와 키보드 조작을 제공합니다. 스페이스로 h → 0을 실행하고, Page Up / Page Down으로 주요 장면을 넘기며, H로 미분계수를 숨깁니다.

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