이 시각화에서 살펴보는 극한
점 a에서 함수 의 극한이 L이라는 것은, x를 a에 충분히 가깝게 두면 f의 값을 원하는 만큼 L에 가깝게 유지할 수 있다는 뜻입니다. 단, x = a 자체는 제외합니다. 이를 로 씁니다. 엄밀하게 표현한 것이 코시와 바이어슈트라스의 ε–δ 정의로, 요구되는 오차 ε에 대해 거리 δ로 답합니다.
그래프에서 요구 조건은 파란 직선 y = L을 중심으로 폭의 절반이 ε인 빨간 띠입니다. 부등호가 엄격하므로 점선으로 표시된 경계는 포함하지 않습니다. 이에 대한 응답은 a를 중심으로 폭의 절반이 δ인 노란 창이며, a에는 틈이 있습니다. 조건 이 x = a를 제외하므로, 그곳에 구멍이 있거나 f(a)가 다른 높이에 정의되어 있어도 결과는 달라지지 않습니다. 창 안의 곡선이 띠 안에 머무르면 조건을 만족합니다. 그렇지 않으면 벗어나는 점을 노란 ×로 표시합니다. 한쪽 극한(x → a⁻ 또는 a⁺)은 창의 절반만 사용합니다. 극한이 존재한다면 그 값은 유일합니다. 서로 다른 두 값이 모든 오차 띠 안에 동시에 들어갈 수는 없습니다.
이 페이지는 두 가지 δ를 보여 줍니다. 보장되는 δ는 창 안의 모든 x에서 성립하는 부등식으로 구하므로 증명이 됩니다. x², 구멍, 점프, sin(1/x), 1/x²에서는 가능한 최대 δ를 닫힌 식으로 구할 수 있으며, 그 값 자체가 보장됩니다. x·sin(1/x)는 0에서 부등식 에 의해 δ = ε가 보장되고, sin x / x는 부등식 에 의해 가 보장됩니다. 이 두 함수의 가능한 최대 δ는 수치적으로 구합니다. 방향이 바뀌는 점들 사이에서 곡선을 구간별로 따라가며, 띠의 경계와 만나는 각 지점을 이분법으로 찾습니다. 더 작은 δ도 모두 조건을 만족하므로 δ는 유일하지 않습니다.
살펴볼 점
- ε → 0은 띠의 폭을 한 번에 십분의 일씩 10⁻⁶까지 줄이며 각 단계의 δ를 기록합니다. 확대경은 가로와 세로를 서로 다른 배율로 확대합니다(제목에 두 배율이 표시됩니다). 화면에 나온 단계만 검사합니다. 따라서 오차가 10⁻⁶보다 작은 잘못된 추측은 이 검사를 모두 통과할 수도 있습니다.
- 같은 조건에 실패하는 세 가지 방식이 있습니다. 점프는 좌극한과 우극한이 다르고, 끝없는 진동에서는 sin(1/x)가 0 주변의 모든 구간에서 1과 −1을 취하며, 잘못된 추측은 2에서의 x²에 L = 4.1을 택하면 ε ≤ 0.1부터 실패합니다. 진동 자체가 극한을 막지는 않습니다. x·sin(1/x)도 똑같이 진동하지만 극한값은 0입니다. 극한의 존재 여부는 점에 따라 달라집니다. sin(1/x)는 모든 a ≠ 0에서 극한이 있습니다. 1/x²는 0에서 유한한 극한이 없습니다. 무한대에서의 극한은 여기서 다루지 않습니다.
- 입력은 소수나 분수 그대로 정확하게 읽으므로, δ의 존재 여부와 경계 도달 여부도 정확하게 판정합니다. L = 4.1, ε = 0.1이면 |4 − L|은 정확히 ε입니다. 함수가 a에서 연속이라는 것은 그곳의 극한값이 f(a)라는 뜻입니다.
조작 방법
- 아래쪽 가장자리의 a와 왼쪽 가장자리의 L을 드래그하세요. L은 극한값에 맞춰 붙고, 그 뒤 a를 움직이면 극한값을 따라갑니다. 창의 양 끝을 드래그하거나 값을 입력해 원하는 δ를 시험하세요. 보장되는 δ와 가능한 최대 δ는 페이지가 구한 두 값으로 설정합니다. f, a, L, ε 또는 접근 방향을 바꾸면 δ는 보장되는 값으로 돌아갑니다.
- 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다. Space는 ε → 0을 실행하고, ← →는 ε에 10을 곱하거나 나누며, H는 극한값을 숨깁니다. 공유는 현재 설정의 링크를 복사합니다.