Math

Математический анализ · Предел

Предел

Предел описывает значение, к которому приближается f(x), когда x приближается к a. Меняйте полосу погрешности вокруг L и окно вокруг a, чтобы понять смысл «сколь угодно близко».

01

Предел в этой визуализации

Предел функции ff в точке a равен L, что записывается lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a} f(x) = L, если значения f можно удержать как угодно близко к L, удерживая x достаточно близко к a, — при этом саму точку x = a не рассматривают. Точная формулировка — определение через ε и δ (Коши и Вейерштрасс): требование ε и ответ δ.

Определение
∀ε>0 ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ ⇒ ∣f(x)−L∣<ε\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\quad 0 < |x - a| < \delta \ \Rightarrow\ |f(x) - L| < \varepsilon

На графике требование — красная полоса полуширины ε вокруг синей прямой y = L; её пунктирные границы не входят в полосу, поскольку неравенство строгое. Ответ — жёлтое окно полуширины δ вокруг a с выколотой точкой a: условие 0<∣x−a∣0 < |x - a| исключает x = a, поэтому дырка в этой точке или отдельно заданное значение f(a) ничего не меняют. Окно подходит, если кривая внутри него остаётся в полосе; иначе жёлтый × отмечает вышедшую точку. Односторонний предел (x → a⁻ или a⁺) использует половину окна. Предел, если он существует, единственен: два значения не могут одновременно поместиться в каждую полосу.

Страница показывает два разных δ. Гарантированное δ получается из неравенства, верного для каждого x в окне, поэтому это доказательство: для x², выколотой точки, скачка, sin(1/x) и 1/x² наибольшее δ выражается явной формулой и само служит гарантией; для x·sin(1/x) оценка ∣xsin⁡(1/x)∣≤∣x∣|x\sin(1/x)| \le |x| даёт δ = ε в 0, а для sin x / x оценка 1−x2/6≤sin⁡x/x<11 - x^2/6 \le \sin x / x < 1 даёт δ=6ε\delta = \sqrt{6\varepsilon}. Для этих двух функций наибольшее δ находят численно: кривую прослеживают по участкам между точками поворота, а пересечения с границей полосы находят бисекцией. Любое меньшее δ тоже подходит; δ никогда не единственно.

02

На что обратить внимание

  • ε → 0 сужает полосу по одному порядку до 10⁻⁶ и записывает δ на каждом уровне, а лупа увеличивает по горизонтали и вертикали с разными множителями (оба указаны в заголовке). Проверяются только показанные уровни: догадка с ошибкой менее 10⁻⁶ прошла бы их все.
  • Три способа не пройти одну проверку: скачок (левый и правый пределы различны), бесконечные колебания (sin(1/x) принимает 1 и −1 в каждом интервале вокруг 0) и неверная догадка (L = 4.1 для x² в 2 не проходит при ε ≤ 0.1). Одних колебаний мало: x·sin(1/x) колеблется столь же часто, но имеет предел 0. Существование предела зависит от точки: у sin(1/x) он есть при каждом a ≠ 0. У 1/x² нет конечного предела в 0; пределы на бесконечности здесь не рассматриваются.
  • Ввод читается точно как десятичные или обыкновенные дроби, поэтому решения — существует ли вообще δ, достигается ли граница — точны: при L = 4.1 и ε = 0.1 величина |4 − L| равна ровно ε. У непрерывной в a функции предел равен f(a); это и есть условие непрерывности.
03

Управление

  • Перетаскивайте a вдоль нижнего края, L вдоль левого; L притягивается к пределу и затем следует за ним при движении a. Перетаскивайте границы окна, чтобы попробовать своё δ, или введите значение; Гарантированное δ и Наибольшее допустимое δ задают два известных странице значения. Изменение f, a, L, ε или стороны возвращает δ к гарантированному значению.
  • Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора: пробел запускает ε → 0, ← → умножают или делят ε на 10, H скрывает предел. Поделиться копирует ссылку на текущую настройку.
04

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Limit of a function (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 2.5 The Precise Definition of a Limit (Английский).