Limit

$f$ fonksiyonunun a noktasındaki limiti, $\lim_{x\to a} f(x) = L$ ile yazılan L değeridir: x'i a'ya yeterince yakın tutarak f değerlerini L'ye istenildiği kadar yakın tutabiliyorsak ve x = a noktasının kendisine hiç bakmıyorsak. Kesin biçimi ε–δ tanımıdır (Cauchy ve Weierstrass): bir ε isteği ve bir δ yanıtı.

Grafikte istek, mavi y = L doğrusu çevresindeki ε yarı genişlikli kırmızı banttır; eşitsizlik kesin olduğundan kesikli kenarlar banda dahil değildir. Yanıt, a çevresindeki δ yarı genişlikli sarı penceredir; a'da boşluğu vardır. $0 < |x - a|$ koşulu x = a'yı dışarıda bırakır; bu nedenle oradaki delik veya başka yerde tanımlanan f(a) değeri hiçbir şeyi değiştirmez. Pencere içindeki eğri bant içinde kaldığında pencere işe yarar; kalmadığında sarı × kaçan noktayı gösterir. Tek taraflı limit (x → a⁻ veya a⁺) pencerenin yarısını kullanır. Limit varsa tektir: iki değer her banda birden sığamaz.

Sayfa iki farklı δ bildirir. Garantili δ, penceredeki her x için geçerli bir eşitsizlikten gelir; bu yüzden kanıttır. x², delik, sıçrama, sin(1/x) ve 1/x² için en büyük δ'nın kapalı biçimi vardır ve kendisi garantidir. x·sin(1/x) için $|x\sin(1/x)| \le |x|$ sınırı 0'da δ = ε verir; sin x / x için $1 - x^2/6 \le \sin x / x < 1$ sınırı $\delta = \sqrt{6\varepsilon}$ verir. Bu iki fonksiyonda en büyük δ sayısaldır: eğri dönüş noktaları arasında parça parça izlenir ve bant kenarını her geçiş ikiye bölmeyle bulunur. Daha küçük her δ da işe yarar; δ hiçbir zaman tek değildir.