Limit

Limit fungsi $f$ di titik a adalah L, ditulis $\lim_{x\to a} f(x) = L$, jika nilai f dapat dipertahankan sedekat yang diminta ke L dengan menjaga x cukup dekat ke a — tanpa pernah melihat x = a itu sendiri. Bentuk tepatnya adalah definisi ε–δ (Cauchy dan Weierstrass): tantangan ε dan jawaban δ.

Pada grafik, tantangannya adalah pita merah dengan setengah lebar ε di sekitar garis biru y = L; tepi putus-putusnya bukan bagian pita karena pertidaksamaannya ketat. Jawabannya adalah jendela kuning dengan setengah lebar δ di sekitar a, dengan celah di a: syarat $0 < |x - a|$ mengecualikan x = a, itulah sebabnya lubang di sana, atau nilai f(a) yang didefinisikan di tempat lain, tidak mengubah apa pun. Jendela memenuhi jika kurva di dalamnya tetap dalam pita; jika tidak, tanda × kuning menandai titik yang keluar. Limit satu sisi (x → a⁻ atau a⁺) memakai separuh jendela. Limit, jika ada, bersifat tunggal: dua nilai tidak dapat sama-sama muat dalam setiap pita.

Halaman ini melaporkan dua δ berbeda. δ terjamin berasal dari pertidaksamaan yang berlaku pada setiap x dalam jendela, sehingga merupakan bukti: untuk x², lubang, lompatan, sin(1/x), dan 1/x², δ terbesar memiliki bentuk tertutup dan menjadi jaminannya sendiri; untuk x·sin(1/x), batas $|x\sin(1/x)| \le |x|$ memberikan δ = ε di 0, dan untuk sin x / x, batas $1 - x^2/6 \le \sin x / x < 1$ memberikan $\delta = \sqrt{6\varepsilon}$. Untuk kedua fungsi itu, δ terbesar bersifat numerik: kurva diikuti bagian demi bagian di antara titik baliknya, dan setiap perpotongan dengan tepi pita dicari dengan biseksi. Setiap δ yang lebih kecil juga memenuhi; δ tidak pernah tunggal.