El límite en esta visualización
El límite de una función en un punto a es L, escrito , cuando los valores de f pueden mantenerse tan cerca de L como se pida manteniendo x lo bastante cerca de a, sin mirar nunca el propio x = a. La forma precisa es la definición ε–δ (Cauchy y Weierstrass): un reto ε y una respuesta δ.
En la gráfica, el reto es la banda roja de semianchura ε alrededor de la recta azul y = L; sus bordes discontinuos no forman parte de ella porque la desigualdad es estricta. La respuesta es la ventana amarilla de semianchura δ alrededor de a, con un hueco en a: la condición excluye x = a, por eso un hueco allí o un valor f(a) definido en otra altura no cambia nada. La ventana sirve cuando la curva que contiene permanece dentro de la banda; si no, una × amarilla marca un punto que se sale. Un límite lateral (x → a⁻ o a⁺) usa media ventana. El límite, cuando existe, es único: dos valores no pueden caber ambos en todas las bandas.
La página indica dos δ distintos. El δ garantizado procede de una desigualdad que se cumple para cada x de la ventana, por lo que constituye una demostración: para x², el hueco, el salto, sin(1/x) y 1/x², el mayor δ tiene una fórmula cerrada y es él mismo la garantía; para x·sin(1/x), la cota da δ = ε en 0, y para sin x / x, la cota da . Para esas dos funciones, el mayor δ es numérico: se sigue la curva por tramos entre sus extremos y cada cruce del borde de la banda se encuentra por bisección. Cualquier δ menor también sirve; δ nunca es único.
En qué fijarse
- ε → 0 reduce la banda un factor diez cada vez hasta 10⁻⁶ y registra un δ por nivel, mientras la lupa amplía por factores distintos en horizontal y vertical (su título indica ambos). Solo comprueba los niveles que muestra: una propuesta con un error menor de 10⁻⁶ los superaría todos.
- Tres maneras de fallar la misma prueba: un salto (los límites izquierdo y derecho difieren), una oscilación incesante (sin(1/x) toma los valores 1 y −1 en todo intervalo alrededor de 0) y una propuesta incorrecta (L = 4.1 para x² en 2 falla en cuanto ε ≤ 0.1). La oscilación por sí sola no basta: x·sin(1/x) oscila igual y aun así tiene límite 0. La existencia del límite depende del punto: sin(1/x) tiene límite en todo a ≠ 0. 1/x² no tiene límite finito en 0; aquí no se tratan los límites en el infinito.
- Las entradas se leen exactamente como decimales o fracciones, así que las decisiones —si existe algún δ, si se alcanza el borde— son exactas: con L = 4.1 y ε = 0.1, |4 − L| es exactamente ε. Una función continua en a tiene límite f(a); esa afirmación es la continuidad.
Controles
- Arrastra a por el borde inferior y L por el izquierdo; L se ajusta al límite y después lo sigue al mover a. Arrastra los bordes de la ventana para probar tu propio δ o escribe cualquier valor; δ garantizado y Mayor δ válido fijan los dos valores que conoce la página. Cambiar f, a, L, ε o el lado devuelve δ al valor garantizado.
- Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores: Espacio ejecuta ε → 0, ← → multiplican ε por 10 o lo dividen, y H oculta el límite. Compartir copia un enlace a la configuración actual.
Conceptos relacionados
- D05Derivada
- D07Aproximación lineal
- D34SeriePrevisto
- B08RadiánPrevisto
Para saber más: Wikipedia: Limit of a function (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 2.5 The Precise Definition of a Limit (Inglés).