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Cálculo · Limite

Limite

Um limite descreve o valor de que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a. Ajuste a faixa de erro em torno de L e a janela em torno de a para perceber o que significa «arbitrariamente perto».

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O limite nesta visualização

O limite de uma função ff num ponto a é L, e escreve-se lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a} f(x) = L, quando se podem manter os valores de f tão perto de L quanto se queira, mantendo x suficientemente perto de a — sem nunca considerar o próprio x = a. A forma precisa é a definição ε–δ (Cauchy e Weierstrass): um desafio ε e uma resposta δ.

A definição
∀ε>0 ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ ⇒ ∣f(x)−L∣<ε\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\quad 0 < |x - a| < \delta \ \Rightarrow\ |f(x) - L| < \varepsilon

No gráfico, o desafio é a faixa vermelha de semilargura ε em torno da reta azul y = L; as margens tracejadas não lhe pertencem, pois a desigualdade é estrita. A resposta é a janela amarela de semilargura δ em torno de a, com uma abertura em a: a condição 0<∣x−a∣0 < |x - a| exclui x = a, razão pela qual um buraco aí, ou um valor f(a) definido noutra altura, não altera nada. A janela serve quando a curva no seu interior fica dentro da faixa; caso contrário, um × amarelo marca um ponto que sai. Um limite lateral (x → a⁻ ou a⁺) usa metade da janela. Quando existe, o limite é único: dois valores não podem caber ambos em todas as faixas.

A página apresenta dois δ diferentes. O δ garantido vem de uma desigualdade válida para todos os x da janela, pelo que constitui uma prova: para x², o buraco, o salto, sin(1/x) e 1/x², o maior δ tem uma expressão fechada e é, ele próprio, a garantia; para x·sin(1/x), a majoração ∣xsin⁡(1/x)∣≤∣x∣|x\sin(1/x)| \le |x| dá δ = ε em 0 e, para sin x / x, a majoração 1−x2/6≤sin⁡x/x<11 - x^2/6 \le \sin x / x < 1 dá δ=6ε\delta = \sqrt{6\varepsilon}. Nestas duas funções, o maior δ é numérico: a curva é percorrida por troços entre os seus extremos, e cada cruzamento da margem da faixa é encontrado por bisseção. Qualquer δ menor também serve; δ nunca é único.

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O que observar

  • ε → 0 estreita a faixa por fatores de dez até 10⁻⁶ e regista um δ para cada nível, enquanto a lupa amplia por fatores diferentes na horizontal e na vertical (o título indica ambos). Só verifica os níveis apresentados: uma hipótese com erro inferior a 10⁻⁶ passaria em todos eles.
  • Três formas de falhar o mesmo teste: um salto (os limites à esquerda e à direita diferem), oscilação interminável (sin(1/x) assume 1 e −1 em qualquer intervalo em torno de 0) e uma hipótese errada (L = 4.1 para x² em 2 falha assim que ε ≤ 0.1). Oscilar, por si só, não basta: x·sin(1/x) oscila tanto quanto sin(1/x) e ainda assim tem limite 0. A existência de limite depende do ponto: sin(1/x) tem limite em qualquer a ≠ 0. 1/x² não tem limite finito em 0; os limites no infinito não são tratados aqui.
  • As entradas são lidas exatamente como decimais ou frações, pelo que as decisões — existe algum δ, a margem é atingida — são exatas: com L = 4.1 e ε = 0.1, |4 − L| é exatamente ε. Uma função contínua em a tem limite f(a); é isso que significa continuidade.
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Controlos

  • Arraste a ao longo da margem inferior e L ao longo da margem esquerda; L encaixa no limite e passa a acompanhá-lo quando a se move. Arraste as margens da janela para experimentar o seu δ, ou introduza um valor; δ garantido e Maior δ válido definem os dois que a página conhece. Alterar f, a, L, ε ou o lado repõe δ no valor garantido.
  • O Modo de apresentação abre uma vista de ecrã inteiro para projeção: Espaço inicia ε → 0, ← → multiplicam ou dividem ε por 10, H oculta o limite. Partilhar copia uma ligação para a configuração atual.
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Para saber mais: Wikipédia: Limit of a function (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 1, 2.5 The Precise Definition of a Limit (Inglês).