Aproximação linear

A aproximação linear de uma função $f$ num ponto $a$, também chamada aproximação pela reta tangente ou linearização local, é a reta tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. Existe quando $f$ é diferenciável em $a$. Também se escreve $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$, usando $x_0$ em vez de $a$. Esta página mostra-a em sete funções: quatro suaves e três que não são diferenciáveis em 0.

O gráfico está centrado horizontalmente no ponto azul P $= (a, f(a))$, com escalas iguais nos dois eixos. O passo vermelho Δx também define a ampliação: o campo de visão encolhe com ele, ajustando-se quando necessário para manter visíveis P, a variação vertical da tangente e Q. Ao longo do passo, a reta tangente sobe a diferencial azul $dy = f'(a)\,\Delta x$, enquanto a curva sobe $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. A seta amarela é o erro:

Uma função é diferenciável em $a$ exatamente quando existe um número finito $m$ tal que $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$, isto é, o erro dividido por $h$ tende para 0 quando $h \to 0$ pelos dois lados; nesse caso, $m = f'(a)$. A página desenha o passo apenas para a direita ($h = \Delta x > 0$), pelo que a imagem ilustra esta propriedade sem a demonstrar; a existência de tangente é determinada pela fórmula de cada função. Como o campo de visão encolhe juntamente com $\Delta x$, $|E|/\Delta x$ indica aproximadamente quanto a curva se afastou da reta em Q, em unidades do campo de visão, razão pela qual uma curva diferenciável parece cada vez mais reta ao ampliar. Se $f''(a) \ne 0$, então $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ para $\Delta x$ pequeno; assim, quando $\Delta x$ já é pequeno, cada ampliação por dez torna o erro cerca de cem vezes menor. Onde $f''(a) = 0$, como para $\sin x$ em 0, diminui ainda mais depressa.