Approssimazione lineare

L’approssimazione lineare di una funzione $f$ in un punto $a$, detta anche approssimazione con la tangente o linearizzazione locale, è la retta tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. Esiste dove $f$ è derivabile in $a$. Si scrive anche $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$, con $x_0$ al posto di $a$. Questa pagina la mostra su sette funzioni: quattro regolari e tre non derivabili in 0.

Il grafico è centrato orizzontalmente sul punto blu P $= (a, f(a))$, con scale uguali sui due assi. Il passo rosso Δx imposta anche lo zoom: la vista si restringe con esso, ampliandosi quanto basta per mantenere visibili P, il dislivello della tangente e Q. Su quel passo la tangente sale del differenziale blu $dy = f'(a)\,\Delta x$, mentre la curva sale di $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. La freccia gialla è l’errore:

Una funzione è derivabile in $a$ esattamente quando esiste un numero finito $m$ con $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$, cioè l’errore diviso per $h$ tende a 0 quando $h \to 0$ da entrambi i lati; allora $m = f'(a)$. La pagina disegna il passo solo verso destra ($h = \Delta x > 0$), quindi l’immagine illustra questo fatto senza dimostrarlo; l’esistenza della tangente si ricava dalla formula di ogni funzione. Poiché la vista si restringe insieme a $\Delta x$, $|E|/\Delta x$ indica approssimativamente quanto la curva si sia allontanata dalla retta in Q in unità della vista: ecco perché una curva derivabile sembra sempre più rettilinea ingrandendo. Se $f''(a) \ne 0$, allora $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ per $\Delta x$ piccolo, quindi quando $\Delta x$ è piccolo ogni ingrandimento di dieci volte riduce l’errore circa di cento volte. Dove $f''(a) = 0$, come per $\sin x$ in 0, si riduce ancora più rapidamente.