Approximation linéaire

L’approximation linéaire d’une fonction $f$ en un point $a$, aussi appelée approximation par la tangente ou linéarisation locale, est la tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. Elle existe lorsque $f$ est dérivable en $a$. Elle s’écrit aussi $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$, avec $x_0$ pour $a$. Cette page la montre pour sept fonctions : quatre régulières et trois non dérivables en 0.

Le graphique est centré horizontalement sur le point bleu P $= (a, f(a))$, avec des échelles égales sur les deux axes. Le pas rouge Δx règle aussi le zoom : la vue se resserre avec lui, en s’étendant au besoin pour garder P, l’élévation de la tangente et Q visibles. Sur ce pas, la tangente s’élève de la différentielle bleue $dy = f'(a)\,\Delta x$, tandis que la courbe s’élève de $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. La flèche jaune représente l’erreur :

Une fonction est dérivable en $a$ exactement lorsqu’il existe un nombre fini $m$ tel que $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$, c’est-à-dire que l’erreur divisée par $h$ tend vers 0 lorsque $h \to 0$, des deux côtés ; alors $m = f'(a)$. La page trace le pas uniquement vers la droite ($h = \Delta x > 0$) : l’image illustre donc ce résultat sans le démontrer ; l’existence d’une tangente se lit dans la formule de chaque fonction. Comme la vue se resserre avec $\Delta x$, $|E|/\Delta x$ indique approximativement de combien, en tailles de vue, la courbe s’écarte de la droite en Q : voilà pourquoi une courbe dérivable paraît de plus en plus droite quand on agrandit. Si $f''(a) \ne 0$, alors $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ pour $\Delta x$ petit ; une fois $\Delta x$ petit, chaque zoom par dix rend donc l’erreur environ cent fois plus petite. Là où $f''(a) = 0$, comme pour $\sin x$ en 0, elle diminue encore plus vite.