Série de Taylor : visualisation interactive

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La série de Taylor dans cette visualisation

La série de Taylor (développement de Taylor) d’une fonction $f$ en un point $a$ est la série entière construite à partir de ses dérivées en ce point ; en $a = 0$ , elle est aussi appelée série de Maclaurin. Le centre se note aussi $x_0$ . Sa somme partielle de degré $n$ est le polynôme de Taylor $P_n$ , l’unique polynôme de degré au plus $n$ dont la valeur et les $n$ premières dérivées en $a$ égalent celles de $f$ :

Polynôme de Taylor

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

La courbe à l’encre est $f$ , la courbe jaune $P_n$ , et le point bleu marque le centre $a$ . La barre jaune sur l’axe des $x$ est une mesure : le plus large intervalle $|x - a| < r$ où $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ , trouvé en testant des points espacés de 0.0025 des deux côtés de $a$ , puis en affinant le premier échec ; elle est affichée arrondie par défaut. Les crochets bleus sont en $a \pm R$ , où R est le rayon de convergence : la série converge pour $|x - a| < R$ et diverge pour $|x - a| > R$ . Pour les sept fonctions ici, la somme dans cet intervalle est $f$ elle-même, et $R$ est la distance de $a$ au point le plus proche où $f$ n’est plus régulière, y compris un point complexe.

L’écart entre $P_n$ et $f$ en un $x$ donné se mesure par le reste. Si $f$ possède $n + 1$ dérivées sur tout l’intervalle entre $a$ et $x$ (cet intervalle ne doit donc pas traverser une singularité, comme le pôle de $1/(1 - x)$ en 1), alors

Reste (forme de Lagrange)

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad\text{pour un certain } \xi \text{ entre } a \text{ et } x\text{.}

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À observer

À l’intérieur du rayon, les sommes partielles convergent ici vers $f$ : pour chacun de ces $x$ , l’erreur tend donc vers 0 quand $n$ augmente, sans forcément diminuer à chaque étape. À l’extérieur, les termes ne tendent pas vers 0 et $P_n(x)$ ne se stabilise pas. La barre ne fait qu’approcher $R$ : elle est mesurée à l’écran, tandis que $R$ vient de la formule.
Une fonction peut être indéfiniment dérivable sur toute la droite réelle tout en ayant un rayon fini. $1/(1 + x^2)$ n’est pas définie aux points complexes $\pm i$ ; sa série autour de $a$ converge donc seulement pour $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ .
Aux extrémités de l’intervalle, tout est possible : la série de $\ln(1 + x)$ en 0 converge en $x = 1$ (vers $\ln 2$ ), mais pas en $x = -1$ ; celle de $1/(1 - x)$ ne converge à aucune extrémité, celle de $\sqrt{1 + x}$ aux deux.
En $a = 0$ , $\sin x$ n’a que des puissances impaires et $\cos x$ que des puissances paires : $P_{2m}$ et $P_{2m-1}$ du sinus sont donc le même polynôme. n → ∞ saute ces termes nuls, pour que chaque étape modifie la courbe.
La convergence seule ne garantit pas que la somme soit égale à $f$ . La fonction qui vaut $e^{-1/x^2}$ pour $x \ne 0$ et 0 en 0 a toutes ses dérivées nulles en 0 : sa série de Taylor en ce point vaut donc 0 pour tout $x$ .

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Applications

En physique, on garde les premiers termes près d’un point : $\sin\theta \approx \theta$ pour les petites oscillations d’un pendule, et $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ transforme l’énergie cinétique relativiste en $\tfrac12 mv^2$ aux faibles vitesses.
Le reste indique combien de termes un calcul demande : sommer $1/k!$ de $k = 0$ à $10$ , ce qui donne $P_{10}(1)$ pour $e^x$ , fournit déjà $e$ à $3 \times 10^{-8}$ près.

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Commandes

Tournez le bouton Degré, ou appuyez sur n → ∞ pour ajouter le terme non nul suivant, un à la fois, jusqu’à $n = 30$ (appuyer de nouveau au maximum reprend depuis 0). Faites glisser le point bleu ou le repère sur l’axe pour déplacer le centre ; les centres proposés donnent des valeurs exactes.
La bande sous le graphique représente $|f - P_n|$ sur une échelle logarithmique, sur toute la largeur du graphique. Le Mode présentation ouvre une vue plein écran pour la projection (Espace ajoute des termes, ← → changent le degré, H masque le rayon).

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Voir aussi

D05Dérivée
D07Approximation linéaire
D34SériesÀ venir
A15Plan complexe

Pour aller plus loin: Wikipédia: Taylor series (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series (Anglais).