泰勒級數

這個視覺化中的泰勒級數

值得觀察的地方

• 在收斂半徑內，這裡的部分和會收斂至 $f$；因此，對其中每個 $x$，誤差都會隨 $n$ 增加而趨近 0，但不一定每一步都減少。半徑外，各項不會趨近 0，$P_n(x)$ 也不會穩定下來。長條只能逼近 $R$：它是根據螢幕上的範圍量測，而 $R$ 來自公式。
• 函數可以在整條實數線上都光滑，收斂半徑卻仍然有限。$1/(1 + x^2)$ 在複數點 $\pm i$ 沒有定義，所以它在 $a$ 展開的級數只在 $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ 時收斂。
• 區間端點的情形各不相同：$\ln(1 + x)$ 在 0 展開的級數，在 $x = 1$ 收斂（至 $\ln 2$），但在 $x = -1$ 不收斂；$1/(1 - x)$ 的級數在兩端都不收斂，而 $\sqrt{1 + x}$ 的級數在兩端都收斂。
• 在 $a = 0$，$\sin x$ 只有奇數次方，$\cos x$ 只有偶數次方，因此正弦函數的 $P_{2m}$ 和 $P_{2m-1}$ 是同一個多項式。n → ∞ 會跳過這些係數為零的項，讓每一步都改變曲線。
• 收斂本身並不保證級數和等於 $f$。某個函數在 $x \ne 0$ 時等於 $e^{-1/x^2}$，在 0 處則為 0；它在 0 的每一階導數都是 0，所以在這裡展開的泰勒級數對所有 $x$ 都是 0。

應用在哪裡

• 物理常保留一點附近的前幾項：單擺小幅擺動時使用 $\sin\theta \approx \theta$，而 $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ 讓相對論動能在低速時化為 $\tfrac12 mv^2$。
• 餘項可告訴我們計算需要幾項：將 $1/k!$ 從 $k = 0$ 加到 $10$，也就是函數 $e^x$ 的 $P_{10}(1)$，就已能得到 $e$ 的近似值，誤差在 $3 \times 10^{-8}$ 以內。

操作方式

• 轉動次數旋鈕，或按 n → ∞，逐次加入下一個非零項，直到 $n = 30$（到頂後再按一次，會從 0 重新播放）。拖曳藍點或軸上的標記可移動中心；關鍵中心點可直接跳到精確值。
• 圖形下方的橫條以對數刻度顯示整個圖形範圍的 $|f - P_n|$。簡報模式會開啟適合投影的全螢幕視圖（空白鍵增加項數，← → 改變次數，H 隱藏半徑）。

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