Ряд Тейлора: интерактивная визуализация

01

Ряд Тейлора в этой визуализации

Ряд Тейлора (разложение Тейлора) функции $f$ в точке $a$ — степенной ряд, построенный по её производным в этой точке; при $a = 0$ он также называется рядом Маклорена. Центр обозначается также $x_0$ . Его частичная сумма степени $n$ — многочлен Тейлора $P_n$ , единственный многочлен степени не выше $n$ , значение и первые $n$ производных которого в $a$ совпадают с соответствующими значениями $f$ :

Многочлен Тейлора

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

Тёмная кривая — $f$ , жёлтая — $P_n$ , синяя точка отмечает центр $a$ . Жёлтая полоска на оси $x$ — результат измерения: самый широкий интервал $|x - a| < r$ , на котором $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ , найденный проверкой точек с шагом 0.0025 по обе стороны от $a$ и уточнением первого нарушения; результат округлён вниз. Синие скобки стоят при $a \pm R$ , где R — радиус сходимости: ряд сходится при $|x - a| < R$ и расходится при $|x - a| > R$ . Для семи функций этой страницы сумма внутри этого интервала равна самой $f$ , а $R$ — расстояние от $a$ до ближайшей особой точки $f$ , в том числе комплексной.

Отклонение $P_n$ от $f$ при заданном $x$ измеряет остаток. Если $f$ имеет $n + 1$ производных на всём интервале между $a$ и $x$ (поэтому интервал не должен пересекать особую точку, например полюс $1/(1 - x)$ при 1), то

Остаток в форме Лагранжа

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad\text{для некоторого } \xi \text{ между } a \text{ и } x\text{.}

02

На что обратить внимание

В пределах радиуса частичные суммы здесь сходятся к $f$ , поэтому при каждом таком $x$ погрешность стремится к 0 с ростом $n$ , хотя не обязательно уменьшается на каждом шаге. За пределами радиуса члены не стремятся к 0 и $P_n(x)$ не имеет предела. Полоска лишь приближается к $R$ : она измерена на экране, а $R$ получено из формулы.
Функция может быть гладкой на всей вещественной прямой и всё же иметь конечный радиус. $1/(1 + x^2)$ не определена в комплексных точках $\pm i$ , поэтому её ряд с центром $a$ сходится лишь при $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ .
На концах интервала возможны разные случаи: ряд $\ln(1 + x)$ в 0 сходится при $x = 1$ (к $\ln 2$ ), но не при $x = -1$ ; ряд $1/(1 - x)$ не сходится ни на одном конце, а ряд $\sqrt{1 + x}$ — на обоих.
При $a = 0$ ряд $\sin x$ содержит только нечётные степени, а $\cos x$ — только чётные, поэтому $P_{2m}$ и $P_{2m-1}$ для синуса — один многочлен. n → ∞ пропускает такие нулевые члены, чтобы каждый шаг менял кривую.
Одна лишь сходимость не гарантирует равенства суммы $f$ . Функция, равная $e^{-1/x^2}$ при $x \ne 0$ и 0 в 0, имеет в 0 все производные, равные 0, поэтому её ряд Тейлора там равен 0 при всех $x$ .

03

Где это применяется

В физике вблизи точки оставляют первые члены: $\sin\theta \approx \theta$ для малых колебаний маятника, а $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ превращает релятивистскую кинетическую энергию в $\tfrac12 mv^2$ при малых скоростях.
Остаток показывает, сколько членов нужно вычислить: сумма $1/k!$ от $k = 0$ до $10$ , то есть $P_{10}(1)$ при $e^x$ , уже даёт $e$ с погрешностью меньше $3 \times 10^{-8}$ .

04

Управление

Вращайте ручку «Степень» или нажмите n → ∞, чтобы добавлять по одному следующему ненулевому члену, до $n = 30$ (повторное нажатие на максимуме начинает снова с 0). Перетаскивайте синюю точку или метку на оси для перемещения центра; ключевые центры задают точные значения.
Полоса под графиком показывает $|f - P_n|$ в логарифмическом масштабе по ширине графика. Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора (пробел добавляет члены, ← → меняют степень, H скрывает радиус).

05

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Taylor series (Английский); OpenStax, Calculus Volume 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series (Английский).