Series de Taylor: visualización interactiva

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Las series de Taylor en esta visualización

La serie de Taylor (desarrollo de Taylor) de una función $f$ en un punto $a$ es la serie de potencias construida a partir de sus derivadas en ese punto; en $a = 0$ también se llama serie de Maclaurin. El centro también se escribe $x_0$ . Su suma parcial de grado $n$ es el polinomio de Taylor $P_n$ , el único polinomio de grado a lo sumo $n$ cuyo valor y primeras $n$ derivadas en $a$ coinciden con los de $f$ :

Polinomio de Taylor

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

La curva oscura es $f$ , la amarilla es $P_n$ y el punto azul marca el centro $a$ . La barra amarilla sobre el eje $x$ es una medida: el intervalo más amplio $|x - a| < r$ en el que $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ , obtenido comprobando puntos separados por 0.0025 a ambos lados de $a$ y afinando el primer incumplimiento, y mostrado redondeado hacia abajo. Los corchetes azules están en $a \pm R$ , donde R es el radio de convergencia: la serie converge para $|x - a| < R$ y diverge para $|x - a| > R$ . Para las siete funciones de esta página, la suma dentro de ese intervalo es el propio $f$ , y $R$ es la distancia de $a$ al punto más cercano donde $f$ deja de estar definida, incluidos los puntos complejos.

El resto mide cuánto se aleja $P_n$ de $f$ en un $x$ dado. Si $f$ tiene $n + 1$ derivadas en todo el intervalo entre $a$ y $x$ (por tanto, ese intervalo no debe cruzar una singularidad, como el polo de $1/(1 - x)$ en 1), entonces

Resto (forma de Lagrange)

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad\text{para algún } \xi \text{ entre } a \text{ y } x\text{.}

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En qué fijarse

Dentro del radio, las sumas parciales convergen aquí a $f$ , por lo que en cada uno de esos $x$ el error tiende a 0 al crecer $n$ , aunque no necesariamente en cada paso. Fuera, los términos no tienden a 0 y $P_n(x)$ no se estabiliza. La barra solo se aproxima a $R$ : se mide en la pantalla, mientras que $R$ procede de la fórmula.
Una función puede ser suave en toda la recta real y aun así tener un radio finito. $1/(1 + x^2)$ no está definida en los puntos complejos $\pm i$ , por lo que su serie alrededor de $a$ solo converge para $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ .
En los extremos del intervalo puede ocurrir cualquier cosa: la serie de $\ln(1 + x)$ en 0 converge en $x = 1$ (a $\ln 2$ ), pero no en $x = -1$ ; la de $1/(1 - x)$ no converge en ninguno de los extremos, y la de $\sqrt{1 + x}$ converge en ambos.
En $a = 0$ , $\sin x$ solo tiene potencias impares y $\cos x$ solo pares, por lo que $P_{2m}$ y $P_{2m-1}$ del seno son el mismo polinomio. n → ∞ omite esos términos nulos, de modo que cada paso cambia la curva.
La convergencia por sí sola no implica que la suma sea $f$ . La función que vale $e^{-1/x^2}$ para $x \ne 0$ y 0 en 0 tiene todas sus derivadas iguales a 0 en 0, por lo que su serie de Taylor en ese punto vale 0 para todo $x$ .

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Dónde se utiliza

En física se conservan los primeros términos cerca de un punto: $\sin\theta \approx \theta$ para las pequeñas oscilaciones de un péndulo, y $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ convierte la energía cinética relativista en $\tfrac12 mv^2$ a bajas velocidades.
El resto indica cuántos términos necesita un cálculo: sumar $1/k!$ desde $k = 0$ hasta $10$ , que es $P_{10}(1)$ para $e^x$ , ya da $e$ con un error menor que $3 \times 10^{-8}$ .

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Controles

Gira el mando Grado, o pulsa n → ∞ para añadir el siguiente término no nulo, uno a uno, hasta $n = 30$ (al pulsarlo de nuevo en el máximo, se repite desde 0). Arrastra el punto azul o la marca del eje para mover el centro; los centros clave saltan a valores exactos.
La franja bajo la gráfica muestra $|f - P_n|$ en escala logarítmica a lo ancho de la gráfica. El Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (Espacio añade términos, ← → cambian el grado, H oculta el radio).

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Conceptos relacionados

D05Derivada
D07Aproximación lineal
D34SeriePrevisto
A15Plano complejo

Para saber más: Wikipedia: Taylor series (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series (Inglés).