Plano complejo

El plano complejo (también diagrama de Argand o plano de Gauss) representa el número complejo $a + bi$ como el punto $(a, b)$: la parte real en horizontal y la imaginaria en vertical. Su distancia a 0 es el módulo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, y su dirección es el argumento $\arg z$, el ángulo desde el semieje real positivo; la página da su valor principal, en $(-180^\circ, 180^\circ]$, y ninguno en 0. Así, $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, la forma polar. La página muestra qué hacen a todo el plano la suma, la multiplicación y la multiplicación repetida por un número $w$.

Multiplicar por $w$ lleva 1 a $w$ y $i$ a $iw$, que es $w$ girado 90°. La cuadrícula unidad tenue se transforma en la cuadrícula amarilla generada por $w$ y $iw$: todo el plano gira un ángulo $\arg w$ alrededor de 0 y se escala por $|w|$, así que la cuadrícula imagen siempre es cuadrada. Un punto z = $a + bi$ conserva sus coordenadas en la cuadrícula, de modo que $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$; Desglose por componentes dibuja ambos recorridos. Con $w = c + di$, $iw = -d + ci$: girar $w$ un cuarto de vuelta lleva su parte imaginaria $d$ al semieje real negativo; ese es el $-bd$ de la fórmula, la huella de $i^2 = -1$. Los triángulos 0–1–$z$ y 0–$w$–$zw$ son semejantes (para $w \ne 0$), por eso las longitudes se multiplican y los ángulos se suman; una suma superior a 180° se devuelve al intervalo restando 360°. Multiplicar por 0 lleva todos los puntos a 0. Dividir entre $w \ne 0$ lo deshace todo: gira en sentido contrario un ángulo $\arg w$ y reduce por $|w|$.

Añadir traslada todo el plano en $w$ (el paralelogramo 0, $z$, $w$, $z + w$), y $|z + w| \le |z| + |w|$, con igualdad solo cuando $z$ y $w$ apuntan en el mismo sentido o alguno es cero. Repetir marca $z, zw, zw^2, \dots$: cada paso gira $\arg w$ y escala por $|w|$, de modo que los puntos están en una espiral equiangular. Con $|w| = 1$ y $\arg w$ igual a una fracción $p/q$ de vuelta, regresan tras $q$ pasos (desde 1: las raíces de orden $q$ de la unidad); con $w = e^{i\cdot 1}$ nunca lo hacen, ya que $1/2\pi$ es irracional.