Transformación lineal

Una transformación lineal (también aplicación lineal) $T$ del plano satisface $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ y $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ para todos los vectores $\vec u, \vec w$ y todo número real $c$. Toda aplicación así es una multiplicación por una matriz 2 × 2 $A$, y las columnas de $A$ son las imágenes de los vectores de la base: $A\hat\imath$ y $A\hat\jmath$. Esta página muestra aplicaciones del plano en sí mismo.

En la imagen, las dos flechas de tinta son las columnas; arrastra sus puntas y toda la cuadrícula las seguirá, porque cada punto se alcanza con la misma combinación que antes. El vector azul v se recorre dos veces: x pasos según î e y según ĵ en la cuadrícula original (discontinua), y x pasos según Aî e y según Aĵ en la nueva (continua), terminando en Av. Leer el mismo producto por filas —cada entrada de $A\vec v$ es el producto escalar de una fila de $A$ con $\vec v$— da los mismos números. El origen nunca se mueve. Una recta se transforma en una recta o un punto. Una transformación invertible conserva las rectas paralelas y las separaciones iguales a lo largo de una recta, aunque las longitudes y los ángulos pueden cambiar.

Cuando $\det A = 0$ pero $A \ne 0$, el plano colapsa en una recta. Una recta que pasa por el origen se lleva al origen: es el núcleo. Cuando $A = 0$, todos los puntos se llevan al origen, así que el núcleo es todo el plano. Con Preimagen, arrastra la salida w para encontrar de dónde venía. Una matriz invertible da un punto $A^{-1}\vec w$; una matriz de rango uno da una recta si w está en la imagen y ninguna preimagen en caso contrario. Para la matriz nula, el origen tiene todo el plano como preimagen; los demás puntos no tienen ninguna. Resolver $A\vec x = \vec b$ es exactamente esta búsqueda.