선형변환

평면의 선형변환(또는 선형사상) $T$는 모든 벡터 $\vec u, \vec w$와 모든 실수 $c$에 대해 $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$, $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$을 만족합니다. 이러한 변환은 모두 2 × 2 행렬 $A$를 곱하는 것으로 나타낼 수 있습니다. $A$의 열은 기저벡터의 상인 $A\hat\imath$, $A\hat\jmath$입니다. 이 페이지는 평면에서 같은 평면으로 가는 변환을 보여 줍니다.

그림에서 잉크색 두 화살표는 열벡터입니다. 끝점을 드래그하면 격자 전체가 따라갑니다. 모든 점에 이르는 조합 방식이 이전과 같기 때문입니다. 파란 벡터 v는 두 번 따라가 봅니다. 원래 격자(점선)에서는 î 방향으로 x걸음, ĵ 방향으로 y걸음 가고, 새 격자(실선)에서는 Aî 방향으로 x걸음, Aĵ 방향으로 y걸음 가서 Av에 도착합니다. 같은 곱을 행으로 읽어도 결과는 같습니다. $A\vec v$의 각 성분은 $A$의 한 행과 $\vec v$의 내적입니다. 원점은 움직이지 않습니다. 직선은 직선이나 한 점으로 갑니다. 가역변환에서는 평행 관계와 직선 위 등간격이 유지되지만, 길이와 각도는 바뀔 수 있습니다.

$\det A = 0$이지만 $A \ne 0$이면 평면은 직선으로 압축됩니다. 원점을 지나는 한 직선이 원점으로 가며, 이것이 핵입니다. $A = 0$이면 모든 점이 원점으로 가므로 핵은 평면 전체입니다. 원상에서 출력 w를 드래그해 어디에서 왔는지 찾아보세요. 가역행렬에서는 한 점 $A^{-1}\vec w$가 원상입니다. 계수가 일인 행렬에서는 w가 상에 속하면 한 직선이 원상이고, 그렇지 않으면 원상이 없습니다. 영행렬에서 원점의 원상은 평면 전체이며 다른 점은 원상이 없습니다. $A\vec x = \vec b$을 푸는 것이 바로 이 탐색입니다.