線性變換

平面的線性變換（也稱線性映射）$T$，對所有向量 $\vec u, \vec w$ 與任意實數 $c$ 都滿足 $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ 及 $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$。每個這樣的映射都可表示為乘上一個 2 × 2 矩陣 $A$，而 $A$ 的各行就是基底向量的像：$A\hat\imath$ 與 $A\hat\jmath$。本頁展示從平面到自身的映射。

圖中兩支墨色箭頭就是矩陣的行向量；拖曳它們的尖端，整片格線都會跟著移動，因為每個點仍用原來的組合方式到達。藍色向量 v 的走法展示兩次：在原格線（虛線）上沿 î 走 x 步、沿 ĵ 走 y 步；在新格線（實線）上沿 Aî 走 x 步、沿 Aĵ 走 y 步，終點是 Av。按列讀取同一個乘積，即 $A\vec v$ 的每個元素是 $A$ 的一列與 $\vec v$ 的內積，也得到相同數值。原點永遠不動。直線會映到直線或一點。可逆變換保持平行關係及同一直線上的等距分布，但長度與角度可以改變。

當 $\det A = 0$ 但 $A \ne 0$ 時，平面塌縮成一條直線。一條通過原點的直線被送到原點，這就是核空間。當 $A = 0$ 時，每個點都被送到原點，因此核空間是整個平面。使用原像，拖曳輸出 w 來尋找它的來源。可逆矩陣給出一個點 $A^{-1}\vec w$；秩為一的矩陣，在 w 位於像上時給出一條直線，否則沒有原像。對零矩陣，原點的原像是整個平面，其他點則沒有原像。求解 $A\vec x = \vec b$，正是在做這樣的搜尋。