Doğrusal dönüşüm

Düzlemin $T$ doğrusal dönüşümü (veya doğrusal eşlemesi), tüm $\vec u, \vec w$ vektörleri ve her $c$ gerçek sayısı için $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ ve $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ koşullarını sağlar. Her böyle dönüşüm 2 × 2 bir $A$ matrisiyle çarpmadır; $A$ sütunları baz vektörlerinin görüntüleridir: $A\hat\imath$ ve $A\hat\jmath$. Bu sayfa düzlemden kendisine dönüşümleri gösterir.

Görseldeki iki koyu ok sütunlardır; uçlarını sürükleyince tüm ızgara izler, çünkü her noktaya öncekiyle aynı birleşimle ulaşılır. Mavi v vektörü iki kez yürünür: özgün ızgarada î boyunca x, ĵ boyunca y adım (kesikli); yeni ızgarada Aî boyunca x, Aĵ boyunca y adım (kesintisiz), son nokta Av. Aynı çarpımı satırlarla okumak da aynı sayıları verir: $A\vec v$ vektörünün her elemanı, $A$ matrisinin bir satırının $\vec v$ ile skaler çarpımıdır. Orijin hiç hareket etmez. Bir doğru bir doğruya veya noktaya dönüşür. Tersinir dönüşüm paralelliği ve doğru üzerindeki eşit aralıkları korur; uzunluklar ve açılar değişebilir.

$\det A = 0$ ama $A \ne 0$ olduğunda düzlem bir doğruya çöker. Orijinden geçen bir doğru orijine gönderilir: bu çekirdektir. $A = 0$ olduğunda her nokta orijine gider; çekirdek tüm düzlemdir. Ters görüntü ile w çıktısını sürükleyerek nereden geldiğini bulun. Tersinir matris tek bir $A^{-1}\vec w$ noktası verir; rankı bir olan matris, w görüntüdeyse bir doğru, değilse hiçbir ters görüntü vermez. Sıfır matrisinde orijinin ters görüntüsü tüm düzlemdir; diğer noktalarınki yoktur. $A\vec x = \vec b$ çözmek tam olarak bu arayıştır.