Application linéaire

Une transformation linéaire (ou application linéaire) $T$ du plan vérifie $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ et $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ pour tous vecteurs $\vec u, \vec w$ et tout réel $c$. Toute application de ce type est la multiplication par une matrice 2 × 2 $A$, et les colonnes de $A$ sont les images des vecteurs de base : $A\hat\imath$ et $A\hat\jmath$. Cette page montre des applications du plan dans lui-même.

Dans l’image, les deux flèches à l’encre sont les colonnes ; déplacez leurs pointes et tout le quadrillage suit, car chaque point est atteint par la même combinaison qu’avant. Le vecteur bleu v est parcouru deux fois : x pas selon î et y selon ĵ sur le quadrillage initial (pointillés), puis x pas selon Aî et y selon Aĵ sur le nouveau (continu), pour arriver à Av. Lire le même produit par lignes — chaque composante de $A\vec v$ est le produit scalaire d’une ligne de $A$ avec $\vec v$ — donne les mêmes nombres. L’origine ne bouge jamais. Une droite a pour image une droite ou un point. Une transformation inversible préserve le parallélisme et l’espacement régulier le long d’une droite, mais les longueurs et les angles peuvent changer.

Lorsque $\det A = 0$ mais $A \ne 0$, le plan s’écrase sur une droite. Une droite passant par l’origine est envoyée sur l’origine : c’est le noyau. Lorsque $A = 0$, chaque point est envoyé sur l’origine : le noyau est donc le plan entier. Avec Antécédent, déplacez la sortie w pour trouver d’où elle vient. Une matrice inversible donne un point $A^{-1}\vec w$ ; une matrice de rang un donne une droite si w appartient à l’image, et aucun antécédent sinon. Pour la matrice nulle, l’origine a le plan entier comme ensemble d’antécédents ; les autres points n’en ont aucun. Résoudre $A\vec x = \vec b$ revient exactement à cette recherche.