線形変換

平面の線形変換（線形写像）$T$ は、すべてのベクトル $\vec u, \vec w$ と実数 $c$ に対し $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ と $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ を満たします。このような写像はすべて2×2行列 $A$ の掛け算で表せ、$A$ の列は基底ベクトルの像 $A\hat\imath$ と $A\hat\jmath$ です。このページでは平面から同じ平面への写像を示します。

図の濃い2本の矢印は行列の列です。先端をドラッグすると格子全体が動きます。どの点にも、元と同じ組み合わせで到達するからです。青いベクトル v を2通りにたどります。元の格子（破線）では î に沿って x、ĵ に沿って y、新しい格子（実線）では Aî に沿って x、Aĵ に沿って y 進み、Av に到達します。同じ積を行で計算しても同じ値です。$A\vec v$ の各成分は $A$ の各行と $\vec v$ の内積になります。原点は動きません。直線の像は直線か1点です。可逆な変換は平行な直線と直線上の等間隔を保ちますが、長さや角度は変わることがあります。

$\det A = 0$ かつ $A \ne 0$ なら、平面は1本の直線に押しつぶされます。原点を通る1本の直線が原点に移り、これが核です。$A = 0$ ならすべての点が原点に移るので、核は平面全体です。逆像では出力 w をドラッグし、どこから来たかを調べます。可逆行列なら1点 $A^{-1}\vec w$、階数1の行列なら w が像上にあるとき1本の直線、それ以外は逆像なしです。零行列では原点の逆像は平面全体で、ほかの点には逆像がありません。$A\vec x = \vec b$ を解くことは、まさにこの探索です。