Lineare Abbildung

Eine lineare Transformation (auch lineare Abbildung) $T$ der Ebene erfüllt $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ und $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ für alle Vektoren $\vec u, \vec w$ und jede reelle Zahl $c$. Jede solche Abbildung ist die Multiplikation mit einer 2 × 2-Matrix $A$. Die Spalten von $A$ sind die Bilder der Basisvektoren: $A\hat\imath$ und $A\hat\jmath$. Diese Seite zeigt Abbildungen der Ebene in sich selbst.

Die beiden dunklen Pfeile im Bild sind die Spalten. Ziehe ihre Spitzen, und das ganze Gitter folgt, denn jeder Punkt wird mit derselben Kombination wie zuvor erreicht. Der blaue Vektor v wird zweimal abgelaufen: x Schritte entlang î und y entlang ĵ im ursprünglichen Gitter (gestrichelt), dann x Schritte entlang Aî und y entlang Aĵ im neuen Gitter (durchgezogen), bis zu Av. Liest man dasselbe Produkt nach Zeilen — jeder Eintrag von $A\vec v$ ist das Skalarprodukt einer Zeile von $A$ mit $\vec v$ —, erhält man dieselben Zahlen. Der Ursprung bleibt stets fest. Eine Gerade wird auf eine Gerade oder einen Punkt abgebildet. Eine invertierbare Transformation erhält parallele Geraden und gleiche Abstände entlang einer Geraden; Längen und Winkel können sich ändern.

Wenn $\det A = 0$, aber $A \ne 0$ gilt, fällt die Ebene auf eine Gerade zusammen. Eine Gerade durch den Ursprung wird auf den Ursprung abgebildet: Sie ist der Kern. Bei $A = 0$ wird jeder Punkt auf den Ursprung abgebildet, also ist der Kern die ganze Ebene. Unter Urbild kannst du den Bildpunkt w ziehen, um seine Herkunft zu finden. Eine invertierbare Matrix liefert einen Punkt $A^{-1}\vec w$; eine Matrix vom Rang eins liefert eine Gerade, wenn w im Bild liegt, andernfalls kein Urbild. Bei der Nullmatrix ist das Urbild des Ursprungs die ganze Ebene; andere Punkte haben keines. Das Lösen von $A\vec x = \vec b$ ist genau diese Suche.