التحويل الخطي

التحويل الخطي (أو التطبيق الخطي) $T$ للمستوى يحقق $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ و$T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ لكل المتجهات $\vec u, \vec w$ ولكل عدد حقيقي $c$. كل تحويل كهذا هو ضرب في مصفوفة 2 × 2 هي $A$، وعمودا $A$ هما صورتا متجهي الأساس: $A\hat\imath$ و$A\hat\jmath$. تعرض هذه الصفحة تحويلات من المستوى إلى نفسه.

في الصورة، السهمان بلون الحبر هما العمودان؛ اسحب رأسيهما فتتبعهما الشبكة كلها، لأن كل نقطة تُبلَغ بالتركيب نفسه كما من قبل. يُسلك المتجه الأزرق v مرتين: x خطوة على î وy على ĵ في الشبكة الأصلية (المتقطعة)، ثم x خطوة على Aî وy على Aĵ في الجديدة (المتصلة)، وصولًا إلى Av. قراءة حاصل الضرب نفسه بالصفوف — كل عنصر في $A\vec v$ حاصل ضرب قياسي لصف من $A$ في $\vec v$ — تعطي الأعداد نفسها. لا يتحرك الأصل أبدًا. يتحوّل المستقيم إلى مستقيم أو نقطة. يحافظ التحويل القابل للعكس على المستقيمات المتوازية وتساوي المسافات على المستقيم، بينما قد تتغيّر الأطوال والزوايا.

عندما $\det A = 0$ مع $A \ne 0$، ينهار المستوى إلى مستقيم. يُرسل مستقيم يمرّ بالأصل إلى الأصل: وهذه هي النواة. وعندما $A = 0$، تُرسل كل نقطة إلى الأصل، فتكون النواة المستوى كله. في الصورة العكسية، اسحب المخرج w لتجد من أين أتى. تعطي المصفوفة القابلة للعكس نقطة واحدة $A^{-1}\vec w$؛ وتعطي المصفوفة ذات الرتبة واحد مستقيمًا إن كانت w على الصورة، ولا صورة عكسية خلاف ذلك. للمصفوفة الصفرية، تكون الصورة العكسية للأصل هي المستوى كله؛ ولا صورة عكسية لأي نقطة أخرى. حل $A\vec x = \vec b$ هو هذا البحث بالضبط.