Линейное преобразование

Линейное преобразование (также линейное отображение) $T$ плоскости удовлетворяет $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ и $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ для всех векторов $\vec u, \vec w$ и любого действительного числа $c$. Каждое такое отображение — умножение на матрицу $A$ размера 2 × 2, а столбцы $A$ — образы базисных векторов: $A\hat\imath$ и $A\hat\jmath$. Здесь показаны отображения плоскости в себя.

На рисунке две чернильные стрелки — столбцы; перетаскивайте их концы, и вся сетка последует за ними, поскольку каждая точка получается той же комбинацией, что и раньше. Синий вектор v строится дважды: x шагов вдоль î и y вдоль ĵ на исходной сетке (пунктир) и x шагов вдоль Aî и y вдоль Aĵ на новой (сплошные линии), с концом в Av. Чтение того же произведения по строкам — каждый элемент $A\vec v$ есть скалярное произведение строки $A$ на $\vec v$ — даёт те же числа. Начало координат неподвижно. Прямая переходит в прямую или точку. Обратимое преобразование сохраняет параллельность прямых и равномерный шаг вдоль прямой, а длины и углы могут меняться.

При $\det A = 0$, но $A \ne 0$, плоскость схлопывается в прямую. Прямая через начало координат отправляется в начало: это ядро. При $A = 0$ каждая точка отправляется в начало, поэтому ядро — вся плоскость. В режиме Прообраз перетаскивайте результат w, чтобы найти его источник. Обратимая матрица даёт одну точку $A^{-1}\vec w$; матрица ранга один даёт прямую, если w лежит в образе, и не даёт прообраза иначе. Для нулевой матрицы прообраз начала — вся плоскость; у других точек прообразов нет. Решение $A\vec x = \vec b$ — в точности этот поиск.