Transformação linear

Uma transformação linear (também aplicação linear) $T$ do plano satisfaz $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ e $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ para todos os vetores $\vec u, \vec w$ e todo o número real $c$. Qualquer aplicação deste tipo corresponde à multiplicação por uma matriz 2 × 2 $A$, e as colunas de $A$ são as imagens dos vetores da base: $A\hat\imath$ e $A\hat\jmath$. Esta página mostra aplicações do plano em si mesmo.

Na imagem, as duas setas escuras são as colunas; arraste as pontas e toda a grelha acompanha, porque cada ponto é alcançado pela mesma combinação de antes. O vetor azul v é percorrido duas vezes: x passos segundo î e y segundo ĵ na grelha original (tracejada), e x passos segundo Aî e y segundo Aĵ na nova (contínua), terminando em Av. Ler o mesmo produto por linhas — cada elemento de $A\vec v$ é o produto escalar de uma linha de $A$ por $\vec v$ — dá os mesmos números. A origem nunca se move. Uma reta transforma-se numa reta ou num ponto. Uma transformação invertível preserva o paralelismo e intervalos iguais ao longo de uma reta, embora os comprimentos e os ângulos possam mudar.

Quando $\det A = 0$, mas $A \ne 0$, o plano colapsa numa reta. Uma reta que passa pela origem é levada à origem: é o núcleo. Quando $A = 0$, todos os pontos são levados à origem, pelo que o núcleo é o plano inteiro. Com Imagem inversa, arraste a saída w para encontrar de onde veio. Uma matriz invertível dá um ponto $A^{-1}\vec w$; uma matriz de característica um dá uma reta se w pertencer à imagem, e nenhuma imagem inversa caso contrário. Para a matriz nula, a origem tem todo o plano como imagem inversa; os outros pontos não têm nenhuma. Resolver $A\vec x = \vec b$ é exatamente esta procura.