Trasformazione lineare

Una trasformazione lineare (anche applicazione lineare) $T$ del piano soddisfa $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ e $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ per tutti i vettori $\vec u, \vec w$ e ogni numero reale $c$. Ogni applicazione di questo tipo è una moltiplicazione per una matrice 2 × 2 $A$ e le colonne di $A$ sono le immagini dei vettori di base: $A\hat\imath$ e $A\hat\jmath$. Questa pagina mostra applicazioni del piano in sé stesso.

Nell’immagine le due frecce scure sono le colonne; trascina le punte e l’intera griglia segue, perché ogni punto viene raggiunto con la stessa combinazione di prima. Il vettore blu v viene percorso due volte: x passi lungo î e y lungo ĵ sulla griglia originale (tratteggiata), poi x passi lungo Aî e y lungo Aĵ sulla nuova (continua), arrivando a Av. Leggere lo stesso prodotto per righe — ogni componente di $A\vec v$ è il prodotto scalare di una riga di $A$ con $\vec v$ — dà gli stessi numeri. L’origine non si muove mai. Una retta viene mandata in una retta o in un punto. Una trasformazione invertibile conserva il parallelismo e la spaziatura uniforme lungo una retta, mentre lunghezze e angoli possono cambiare.

Quando $\det A = 0$ ma $A \ne 0$, il piano collassa su una retta. Una retta per l’origine viene mandata nell’origine: è il nucleo. Quando $A = 0$, ogni punto viene mandato nell’origine, quindi il nucleo è tutto il piano. Con Controimmagine, trascina l’uscita w per trovare da dove proviene. Una matrice invertibile dà un punto $A^{-1}\vec w$; una matrice di rango uno dà una retta se w appartiene all’immagine e nessuna controimmagine altrimenti. Per la matrice nulla, l’origine ha tutto il piano come controimmagine; gli altri punti non ne hanno. Risolvere $A\vec x = \vec b$ è esattamente questa ricerca.