Transformasi linear

Transformasi linear (juga pemetaan linear) $T$ pada bidang memenuhi $T(\vec u + \vec w) = T(\vec u) + T(\vec w)$ dan $T(c\vec u) = c\,T(\vec u)$ untuk semua vektor $\vec u, \vec w$ dan setiap bilangan real $c$. Setiap pemetaan demikian adalah perkalian dengan matriks 2 × 2 $A$, dan kolom $A$ adalah bayangan vektor basis: $A\hat\imath$ dan $A\hat\jmath$. Halaman ini menampilkan pemetaan dari bidang ke dirinya sendiri.

Pada gambar, dua panah tinta adalah kolom; seret ujungnya dan seluruh kisi mengikuti, karena setiap titik dicapai dengan kombinasi yang sama seperti sebelumnya. Vektor biru v ditelusuri dua kali: x langkah sepanjang î dan y sepanjang ĵ pada kisi awal (putus-putus), serta x langkah sepanjang Aî dan y sepanjang Aĵ pada kisi baru (utuh), berakhir di Av. Membaca hasil kali yang sama menurut baris — setiap entri $A\vec v$ adalah hasil kali titik satu baris $A$ dengan $\vec v$ — memberikan angka sama. Titik asal tidak pernah bergerak. Garis dipetakan menjadi garis atau titik. Transformasi yang dapat dibalik mempertahankan kesejajaran garis dan jarak yang sama sepanjang garis, sementara panjang dan sudut dapat berubah.

Saat $\det A = 0$ tetapi $A \ne 0$, bidang runtuh menjadi garis. Garis melalui titik asal dipetakan ke titik asal: inilah kernel. Saat $A = 0$, setiap titik dipetakan ke titik asal, jadi kernelnya seluruh bidang. Dengan Prabayangan, seret keluaran w untuk mencari asalnya. Matriks yang dapat dibalik memberikan satu titik $A^{-1}\vec w$; matriks berperingkat satu memberikan garis jika w berada pada bayangan, dan tanpa prabayangan jika tidak. Untuk matriks nol, titik asal memiliki seluruh bidang sebagai prabayangannya; titik lain tidak memilikinya. Menyelesaikan $A\vec x = \vec b$ tepat merupakan pencarian ini.