Bidang kompleks

Bidang kompleks (juga disebut diagram Argand atau bidang Gauss) menggambarkan bilangan kompleks $a + bi$ sebagai titik $(a, b)$: bagian real mendatar, bagian imajiner vertikal. Jaraknya dari 0 adalah modulus $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, dan arahnya adalah argumen $\arg z$, yaitu sudut dari sumbu real positif; halaman ini menampilkan nilai utamanya, dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$, dan tidak memberikan argumen di 0. Jadi $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, bentuk polar. Halaman ini menunjukkan pengaruh penjumlahan, perkalian, dan perkalian berulang dengan suatu bilangan $w$ pada seluruh bidang.

Perkalian dengan $w$ membawa 1 ke $w$ dan $i$ ke $iw$, yaitu $w$ yang diputar 90°. Kisi satuan samar berubah menjadi kisi kuning yang direntang oleh $w$ dan $iw$: seluruh bidang berputar sebesar $\arg w$ terhadap 0 dan meregang dengan faktor $|w|$, sehingga kisi bayangannya selalu persegi. Titik z = $a + bi$ mempertahankan alamat kisinya, sehingga $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ — Uraian komponen menggambar kedua lintasan. Dengan $w = c + di$, $iw = -d + ci$: memutar $w$ seperempat putaran memindahkan bagian imajinernya $d$ ke sumbu real negatif, dan itulah $-bd$ dalam rumus, jejak $i^2 = -1$. Segitiga 0–1–$z$ dan 0–$w$–$zw$ sebangun (untuk $w \ne 0$), itulah sebabnya panjang dikalikan dan sudut dijumlahkan; jumlah yang melewati 180° dikembalikan dengan 360°. Perkalian dengan 0 membawa semua titik ke 0. Pembagian dengan $w \ne 0$ membalikkan semuanya: putar kembali sebesar $\arg w$ dan perkecil dengan faktor $|w|$.

Tambah menggeser seluruh bidang sebesar $w$ (jajargenjang 0, $z$, $w$, $z + w$), dan $|z + w| \le |z| + |w|$, dengan kesamaan hanya jika $z$ dan $w$ searah atau salah satunya nol. Ulangi menandai $z, zw, zw^2, \dots$: tiap langkah memutar sebesar $\arg w$ dan meregang dengan faktor $|w|$, sehingga titik-titik terletak pada spiral bersudut tetap. Dengan $|w| = 1$ dan $\arg w$ sebesar pecahan $p/q$ putaran, titik-titik kembali setelah $q$ langkah (dari 1: akar pangkat $q$ dari satu); dengan $w = e^{i\cdot 1}$, titik-titik tidak pernah kembali karena $1/2\pi$ irasional.