Komplexe Ebene

Die komplexe Ebene (auch Argand-Diagramm oder Gaußsche Zahlenebene) stellt die komplexe Zahl $a + bi$ als Punkt $(a, b)$ dar: den Realteil waagerecht, den Imaginärteil senkrecht. Ihr Abstand von 0 ist der Betrag $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, ihre Richtung das Argument $\arg z$, also der Winkel zur positiven reellen Achse. Die Seite zeigt dessen Hauptwert in $(-180^\circ, 180^\circ]$; bei 0 ist kein Argument angegeben. Damit gilt $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, die Polarform. Die Seite zeigt, wie Addition, Multiplikation und wiederholte Multiplikation mit einer Zahl $w$ die ganze Ebene verändern.

Die Multiplikation mit $w$ bildet 1 auf $w$ und $i$ auf $iw$ ab, also auf das um 90° gedrehte $w$. Das blasse Einheitsgitter wird zum gelben Gitter, das $w$ und $iw$ aufspannen: Die ganze Ebene dreht sich um 0 um den Winkel $\arg w$ und wird mit $|w|$ skaliert. Das Bildgitter bleibt daher quadratisch. Ein Punkt z = $a + bi$ behält seine Gitterkoordinaten, also gilt $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$. Komponentenzerlegung zeichnet beide Wege. Für $w = c + di$ gilt $iw = -d + ci$: Eine Vierteldrehung von $w$ verschiebt dessen Imaginärteil $d$ auf die negative reelle Achse. Daher kommt das $-bd$ in der Formel, als Folge von $i^2 = -1$. Die Dreiecke 0–1–$z$ und 0–$w$–$zw$ sind für $w \ne 0$ ähnlich. Deshalb multiplizieren sich die Längen und addieren sich die Winkel; eine Summe über 180° wird um 360° zurückgeführt. Multiplikation mit 0 bildet jeden Punkt auf 0 ab. Division durch $w \ne 0$ macht alles rückgängig: um $\arg w$ zurückdrehen und die Längen durch $|w|$ teilen.

Addieren verschiebt die ganze Ebene um $w$ (das Parallelogramm 0, $z$, $w$, $z + w$), und es gilt $|z + w| \le |z| + |w|$, mit Gleichheit nur, wenn $z$ und $w$ in dieselbe Richtung zeigen oder eine der beiden Zahlen 0 ist. Wiederholen markiert $z, zw, zw^2, \dots$: Jeder Schritt dreht um $\arg w$ und skaliert mit $|w|$. Die Punkte liegen daher auf einer gleichwinkligen Spirale. Gilt $|w| = 1$ und ist $\arg w$ der Bruchteil $p/q$ einer Umdrehung, kehren sie nach $q$ Schritten zurück (ausgehend von 1: die $q$-ten Einheitswurzeln). Bei $w = e^{i\cdot 1}$ kehren sie nie zurück, weil $1/2\pi$ irrational ist.