Mandelbrot-Menge: Interaktiv erkunden

Die Mandelbrot-Menge in dieser Visualisierung

Die Mandelbrot-Menge $M$ besteht aus den komplexen Zahlen $c$ , für die die folgende Folge beschränkt bleibt. Sobald $|z_n| > 2$ gilt, entweicht die Folge ins Unendliche. $c$ gehört also genau dann zu $M$ , wenn $|z_n| \le 2$ für jedes $n$ gilt.

z_0 = 0,\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad M = \{\, c \in \mathbb{C} : |z_n| \le 2 \ \ \forall n \ge 0 \,\}

Was die beiden Bilder zeigen

Die c-Ebene, das große Bild: Jeder Punkt ist ein Wert von $c$ , gefärbt danach, wie schnell die bei 0 beginnende Folge die Kreisscheibe mit Radius 2 verlässt. Die glatte Färbung dient nur der Darstellung. Schwarz bedeutet „kein Entweichen bis zur Iterationsgrenze $N$ “ — eine numerische Aussage, kein Beweis, dass $c$ zur Menge gehört.

Die z-Ebene, das kleine Bild: Für das $c$ unter dem roten Fadenkreuz ist jeder Punkt ein Startwert $z_0$ . Schwarz markiert die ausgefüllte Julia-Menge $K_c$ , also Startwerte mit beschränkter Bahn (Fluchtradius $\max(2, |c|)$ ). Die gelben Punkte zeigen die Bahn von 0: Sie liegt in der z-Ebene, nicht zwischen den Parametern. Klicke einen Punkt der z-Ebene, um die Bahn stattdessen dort zu starten.

Warum es so aussieht

Die rote Taste zeigt nacheinander die Gebiete $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ für wachsende, zur Ansicht passende $n$ , bis zu $N$ . Jedes liegt im vorherigen ( $L_1$ wäre die Kreisscheibe mit Radius 2). $M$ ist der Teil, der allen gemeinsam ist.

Die große Kardioide enthält die Parameter, für die $z^2 + c$ einen anziehenden Fixpunkt hat: $c = \mu/2 - \mu^2/4$ mit $|\mu| < 1$ . In der Scheibe links daneben, $|c + 1| < 1/4$ , gibt es einen anziehenden 2-Zyklus. Jede direkt an der Kardioide beim vollständig gekürzten Bruch $p/q$ sitzende Knospe enthält einen anziehenden Zyklus der Periode $q$ . Ihre Antenne verzweigt sich am Hauptknoten in $q$ Arme, einschließlich des Arms zurück zur Knospe.

Douady und Hubbard bewiesen 1982, dass $M$ zusammenhängend ist. Fatou und Julia hatten gezeigt, dass die Julia-Menge von $z^2 + c$ genau dann zusammenhängend ist, wenn die Bahn von 0 beschränkt bleibt. Deshalb ist $M$ zugleich die Menge der $c$ mit zusammenhängender Julia-Menge; für $c$ außerhalb von $M$ zerfällt sie zu Staub.

Häufige Missverständnisse

Schwarz heißt „in $N$ Schritten nicht entwichen“. Nahe dem Rand kann ein größeres $N$ schwarze Pixel farbig werden lassen.
Scheinbar getrennte Inseln sind durch unsichtbar feine Fäden mit dem Hauptkörper verbunden.
Die kleinen Kopien sind keine exakten Miniaturen: Jede ist verzerrt, und ihre Umgebungen unterscheiden sich.
Die Bahn wird nur in der z-Ebene gezeichnet; die c-Ebene enthält den Parameter, nicht die Bahn.

Geschichte

Fatou und Julia entwickelten 1918–1920 die Theorie der Iteration rationaler Funktionen [1, 2]. Brooks und Matelski erzeugten ein frühes Computerbild der Menge; ihre Arbeit erschien 1981 [3]. Mandelbrot veröffentlichte 1980 Computerbilder komplexer quadratischer Iterationen [4]. Douady und Hubbard, die 1982 den Zusammenhang der Menge bewiesen, benannten sie nach ihm [5].

Quellen

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Mandelbrot set (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Benoit Mandelbrot (Englisch).