マンデルブロ集合

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マンデルブロ集合 $M$ は、以下の数列が有界にとどまる複素数 $c$ の集合です。いったん $|z_n| > 2$ になると無限遠へ発散するため、$c$ が $M$ に属するのは、すべての $n$ で $|z_n| \le 2$ のとき、かつそのときに限ります。

2つの画像が示すもの

大きな画像はc 平面です。各点は $c$ の値で、0からの数列が半径2の円盤を出るまでの速さに応じて色を付けます。滑らかな配色は表示上の処理です。黒は「上限 $N$ 回以内では脱出しなかった」という数値判定で、$c$ が集合に属する証明ではありません。

小画面はz 平面です。赤い十字が示す $c$ に対し、各点は初期値 $z_0$ で、黒が充填ジュリア集合 $K_c$、つまり軌道が有界にとどまる初期値を示します（脱出半径 $\max(2, |c|)$）。黄色い点は0の軌道です。軌道が動くのは z 平面で、パラメーターの平面ではありません。z 平面の点をクリックすると、そこを開始点にできます。

この形になる理由

赤いキーは表示に応じて選んだ $n$ を増やしながら、領域 $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ を $N$ まで順に示します。各領域は前の領域の内側です（$L_1$ は半径2の円盤）。$M$ はそれらすべてに共通する部分です。

大きなカージオイドは $z^2 + c$ が吸引不動点を持つ領域で、$|\mu| < 1$ を満たす $c = \mu/2 - \mu^2/4$ と表せます。その左の円盤 $|c + 1| < 1/4$ は吸引2周期軌道を持つ領域です。既約分数 $p/q$ の位置でカージオイドに直接付く膨らみには、周期 $q$ の吸引軌道があります。アンテナの主な分岐点では、膨らみに戻る1本も数えて $q$ 本の枝に分かれます。

ドゥアディとハバードは1982年に $M$ が連結であることを証明しました。ファトゥーとジュリアは、$z^2 + c$ のジュリア集合が連結であることと0の軌道が有界であることの同値性を示していたため、$M$ はジュリア集合がひとつながりになる $c$ の集合でもあります。$c$ が $M$ の外にあると、ジュリア集合は塵状に分かれます。

読み違えやすいところ

• 黒は「$N$ 回以内では脱出しなかった」という意味です。境界付近では $N$ を増やすと黒いピクセルに色が付くことがあります。
• 離れた島に見える部分も、見えないほど細い糸で本体につながっています。
• 小さなコピーは厳密な縮小版ではありません。それぞれがゆがみ、周囲の形も異なります。
• 軌道を描くのは z 平面だけです。c 平面にあるのはパラメーターで、軌道ではありません。

歴史

ファトゥーとジュリアは1918～1920年に有理関数の反復理論を築きました [1, 2]。ブルックスとマテルスキは集合の初期のコンピューター画像を作り、その論文は1981年に刊行されました [3]。マンデルブロは1980年に複素2次写像の反復のコンピューター画像を発表しました [4]。1982年に集合の連結性を証明したドゥアディとハバードが、彼にちなんで命名しました [5]。

関連する概念

ジュリア集合 · ロジスティック写像 · ニュートン・フラクタル（ページ準備中）· 複素数

参考文献

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

さらに読む: ウィキペディア: Mandelbrot set (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Benoit Mandelbrot (英語).