مجموعة ماندلبروت: مستكشف تفاعلي

مجموعة ماندلبروت في هذا التصوّر

مجموعة ماندلبروت $M$ هي مجموعة الأعداد المركّبة $c$ التي تبقى المتتالية أدناه محدودة عندها. ما إن يتحقق $|z_n| > 2$ حتى تهرب المتتالية إلى اللانهاية، لذا تنتمي $c$ إلى $M$ إذا وفقط إذا تحقق $|z_n| \le 2$ لكل $n$ .

z_0 = 0,\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad M = \{\, c \in \mathbb{C} : |z_n| \le 2 \ \ \forall n \ge 0 \,\}

ماذا تُظهر الصورتان؟

مستوى c، الصورة الكبيرة: كل نقطة قيمة لـ $c$ ، يحدّد لونها مدى سرعة خروج المتتالية التي تبدأ من 0 من القرص ذي نصف القطر 2. التلوين السلس للعرض فقط. يعني الأسود «لم تهرب ضمن حد التكرار $N$ » — حكمًا عدديًا، لا برهانًا على انتماء $c$ إلى المجموعة.

مستوى z، الشاشة الصغيرة: للقيمة $c$ تحت العلامة الحمراء، كل نقطة قيمة بداية $z_0$ ، ويميّز الأسود مجموعة جوليا الممتلئة $K_c$ ، أي قيم البداية التي تبقى مداراتها محدودة (نصف قطر الهروب $\max(2, |c|)$ ). النقاط الصفراء مدار 0: يقع في مستوى z، لا بين المعاملات. انقر نقطة في مستوى z ليبدأ المدار منها بدلًا من ذلك.

لماذا تبدو هكذا؟

يعرض المفتاح الأحمر المناطق $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ بالتتابع، لقيم $n$ متزايدة اختيرت لتناسب المشهد، حتى $N$ : كل منطقة داخل سابقتها (تكون $L_1$ القرص ذا نصف القطر 2). $M$ هي الجزء المشترك بينها كلها.

المنحنى القلبي الكبير هو حيث يكون لـ $z^2 + c$ نقطة ثابتة جاذبة: $c = \mu/2 - \mu^2/4$ مع $|\mu| < 1$ . القرص إلى يساره، $|c + 1| < 1/4$ ، هو حيث توجد دورة جاذبة طولها 2. كل فص متصل مباشرة بالمنحنى القلبي عند الكسر $p/q$ (في أبسط صورة) يحتوي دورة جاذبة طولها $q$ ، ويتفرع هوائيه إلى $q$ أذرع عند ملتقاه الرئيسي (بما فيها العائد إلى الفص).

أثبت دوادي وهوبارد سنة 1982 أن $M$ متصلة. وكان فاتو وجوليا قد أثبتا أن مجموعة جوليا لـ $z^2 + c$ متصلة إذا وفقط إذا كان مدار 0 محدودًا، لذا فإن $M$ هي أيضًا مجموعة قيم $c$ التي تكون مجموعة جوليا لها قطعة واحدة؛ وعندما تقع $c$ خارج $M$ تتفتت إلى غبار.

ما يسهل الخلط فيه

يعني الأسود «لم تهرب خلال $N$ خطوة». قرب الحدود قد تحوّل قيمة $N$ أكبر البكسلات السوداء إلى ألوان.
الجزر التي تبدو منفصلة متصلة بالجسم الرئيسي بخيوط أرفع من أن تُرى.
النسخ الصغيرة ليست مصغّرات مطابقة: لكل منها تشوّه، وتختلف المناطق المحيطة بها.
يُرسم المدار في مستوى z فقط؛ ويحتوي مستوى c المعامل، لا المدار.

لمحة تاريخية

بنى فاتو وجوليا نظرية تكرار الدوال النسبية في 1918–1920 [1، 2]. وأنتج بروكس وماتلسكي صورة حاسوبية مبكرة للمجموعة؛ ونُشرت ورقتهما سنة 1981 [3]. نشر ماندلبروت صورًا حاسوبية للتكرار التربيعي المركّب سنة 1980 [4]، وسمّاها دوادي وهوبارد باسمه، وهما من أثبتا اتصالها سنة 1982 [5].

مفاهيم ذات صلة

مجموعة جوليا · الخريطة اللوجستية · كسير نيوتن (صفحة قيد الإعداد) · الأعداد المركّبة

المراجع

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Mandelbrot set (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Benoit Mandelbrot (الإنجليزية).