Taylorreihe: Interaktive Visualisierung

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Taylorreihen in dieser Visualisierung

Die Taylorreihe (Taylorentwicklung) einer Funktion $f$ an einer Stelle $a$ ist die aus ihren dortigen Ableitungen gebildete Potenzreihe; für $a = 0$ heißt sie auch Maclaurin-Reihe. Die Entwicklungsstelle wird auch $x_0$ geschrieben. Ihre Partialsumme bis zum Grad $n$ ist das Taylorpolynom $P_n$ , das einzige Polynom vom Grad höchstens $n$ , dessen Wert und erste $n$ Ableitungen bei $a$ mit denen von $f$ übereinstimmen:

Taylorpolynom

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

Die dunkle Kurve ist $f$ , die gelbe $P_n$ , und der blaue Punkt markiert die Entwicklungsstelle $a$ . Der gelbe Balken auf der $x$ -Achse ist ein Messwert: das weiteste Intervall $|x - a| < r$ , auf dem $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ gilt. Dazu werden Punkte im Abstand 0.0025 auf beiden Seiten von $a$ geprüft und die erste Überschreitung genauer bestimmt; angezeigt wird ein abgerundeter Wert. Die blauen Klammern liegen bei $a \pm R$ , wobei R der Konvergenzradius ist: Die Reihe konvergiert für $|x - a| < R$ und divergiert für $|x - a| > R$ . Bei den sieben Funktionen hier ist die Summe innerhalb dieses Intervalls die Funktion $f$ selbst, und $R$ ist der Abstand von $a$ zur nächsten Singularität von $f$ , einschließlich komplexer Punkte.

Wie weit $P_n$ bei einem gegebenen $x$ von $f$ abweicht, misst das Restglied. Besitzt $f$ auf dem gesamten Intervall zwischen $a$ und $x$ insgesamt $n + 1$ Ableitungen (das Intervall darf also keine Singularität wie die Polstelle von $1/(1 - x)$ bei 1 überschreiten), dann gilt

Restglied in Lagrange-Form

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad\text{für ein } \xi \text{ zwischen } a \text{ und } x\text{.}

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Was auffällt

Innerhalb des Radius konvergieren die Partialsummen hier gegen $f$ . An jedem solchen $x$ geht der Fehler daher bei wachsendem $n$ gegen 0, auch wenn er nicht bei jedem einzelnen Schritt kleiner werden muss. Außerhalb gehen die Terme nicht gegen 0 und $P_n(x)$ nähert sich keinem Grenzwert. Der Balken nähert sich $R$ nur an: Er wird in der Bildschirmdarstellung gemessen, während $R$ aus der Formel stammt.
Eine Funktion kann auf der ganzen reellen Zahlengeraden glatt sein und trotzdem einen endlichen Radius haben. $1/(1 + x^2)$ ist an den komplexen Punkten $\pm i$ nicht definiert; seine Reihe um $a$ konvergiert daher nur für $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ .
An den Intervallenden ist unterschiedliches Verhalten möglich: Die Reihe von $\ln(1 + x)$ um 0 konvergiert bei $x = 1$ (gegen $\ln 2$ ), aber nicht bei $x = -1$ ; die von $1/(1 - x)$ konvergiert an keinem Ende, die von $\sqrt{1 + x}$ an beiden.
Bei $a = 0$ enthält $\sin x$ nur ungerade Potenzen und $\cos x$ nur gerade. Daher sind $P_{2m}$ und $P_{2m-1}$ des Sinus dasselbe Polynom. n → ∞ überspringt solche Nullterme, sodass jeder Schritt die Kurve verändert.
Konvergenz allein bedeutet nicht, dass die Summe gleich $f$ ist. Die Funktion mit dem Wert $e^{-1/x^2}$ für $x \ne 0$ und dem Wert 0 bei 0 hat bei 0 nur verschwindende Ableitungen. Ihre Taylorreihe dort ist deshalb für alle $x$ gleich 0.

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Anwendungen

In der Physik behält man nahe einer Stelle die ersten Terme bei: $\sin\theta \approx \theta$ für kleine Pendelschwingungen, und $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ führt bei kleinen Geschwindigkeiten von der relativistischen kinetischen Energie zu $\tfrac12 mv^2$ .
Das Restglied zeigt, wie viele Terme eine Berechnung benötigt: Die Summe von $1/k!$ für $k = 0$ bis $10$ , also $P_{10}(1)$ für $e^x$ , nähert $e$ bereits mit einem Fehler unter $3 \times 10^{-8}$ an.

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Bedienung

Drehe den Regler Grad oder drücke n → ∞, um jeweils den nächsten Term mit einem von null verschiedenen Koeffizienten hinzuzufügen, bis $n = 30$ (erneutes Drücken am Ende startet wieder bei 0). Ziehe den blauen Punkt oder die Achsenmarkierung, um die Entwicklungsstelle zu verschieben; die Tasten für markante Entwicklungsstellen springen zu exakten Werten.
Der Streifen unter dem Diagramm zeigt $|f - P_n|$ über die gesamte Diagrammbreite auf einer logarithmischen Skala. Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Leertaste fügt Terme hinzu, ← → ändern den Grad, H blendet den Radius aus).

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