Plan complexe

Le plan complexe (aussi appelé diagramme d’Argand ou plan de Gauss) représente le nombre complexe $a + bi$ par le point $(a, b)$ : la partie réelle à l’horizontale, la partie imaginaire à la verticale. Sa distance à 0 est le module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, et sa direction est l’argument $\arg z$, l’angle depuis l’axe réel positif ; la page en donne la valeur principale, dans $(-180^\circ, 180^\circ]$, et n’en donne aucune en 0. Ainsi, $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ est la forme polaire. La page montre l’effet sur tout le plan de l’addition, de la multiplication et des multiplications répétées par un nombre $w$.

Multiplier par $w$ envoie 1 sur $w$ et $i$ sur $iw$, soit $w$ tourné de 90°. Le discret quadrillage unité devient le quadrillage jaune engendré par $w$ et $iw$ : tout le plan tourne de $\arg w$ autour de 0 et ses longueurs sont multipliées par $|w|$, si bien que le quadrillage image reste carré. Un point z = $a + bi$ garde son adresse dans le quadrillage, donc $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ — Décomposition en composantes trace les deux parcours. Avec $w = c + di$, $iw = -d + ci$ : tourner $w$ d’un quart de tour place sa partie imaginaire $d$ sur l’axe réel négatif, ce qui donne le $-bd$ de la formule, la trace de $i^2 = -1$. Les triangles 0–1–$z$ et 0–$w$–$zw$ sont semblables (pour $w \ne 0$), d’où la multiplication des longueurs et l’addition des angles ; une somme dépassant 180° est ramenée dans l’intervalle par retrait de 360°. Multiplier par 0 envoie tous les points sur 0. Diviser par $w \ne 0$ inverse tout : tourner en sens inverse de $\arg w$ et diviser les longueurs par $|w|$.

Ajouter translate tout le plan de $w$ (le parallélogramme 0, $z$, $w$, $z + w$), et $|z + w| \le |z| + |w|$, avec égalité seulement si $z$ et $w$ ont le même sens ou si l’un des deux est nul. Répéter marque $z, zw, zw^2, \dots$ : chaque étape fait tourner de $\arg w$ et multiplie les longueurs par $|w|$, les points se trouvant donc sur une spirale équiangle. Avec $|w| = 1$ et $\arg w$ égal à la fraction $p/q$ d’un tour, ils reviennent après $q$ étapes (depuis 1 : les racines $q$-ièmes de l’unité) ; avec $w = e^{i\cdot 1}$, ils ne reviennent jamais, car $1/2\pi$ est irrationnel.