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Trigonométrie et préanalyse · Cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine ; son point d’angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Déplacez-le et voyez les signes, les valeurs remarquables et tan se lire dans la figure.

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Le cercle trigonométrique dans cette visualisation

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine, x2+y2=1x^2 + y^2 = 1. Un angle θ\theta se mesure à partir du demi-axe des x positifs, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre s’il est positif ; il aboutit à un point P du cercle, dont les coordonnées définissent le cosinus et le sinus. Cette définition vaut pour tout angle — obtus, négatif ou supérieur à un tour complet — et pas seulement pour les angles aigus d’un triangle rectangle. Lorsque cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0, la tangente est leur quotient. La page écrit chaque angle en radians et en degrés, θ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circ.

La définition et l’équation du cercle
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Dans la figure, les deux côtés de l’angle droit du triangle de référence, de O à (cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0) puis de là vers P, représentent cos θ et sin θ comme déplacements orientés : positifs vers la droite et le haut, négatifs vers la gauche et le bas. La droite OP rencontre la verticale x=1x = 1 en T =(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta) : tan θ est donc la pente de OP. Quand θ vaut π/2+nπ\pi/2 + n\pi, les deux droites sont parallèles et tan θ n’existe pas. T est sur la demi-droite OP si cos θ > 0 et derrière O, sur son prolongement opposé, si cos θ < 0 — c’est-à-dire si sec θ < 0 ; tan θ peut alors avoir l’un ou l’autre signe (à 210°, elle vaut √3/3). Puisque P appartient au cercle, cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 est l’équation même de ce cercle. Les symétries de P par rapport aux axes et à l’origine donnent les points de π−θ\pi - \theta, π+θ\pi + \theta et −θ-\theta : le même triangle avec d’autres signes, d’où les formules de réduction telles que sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta. Les angles qui diffèrent d’un nombre entier de tours, comme 13π/613\pi/6 et π/6\pi/6, aboutissent au même point et ont toutes les mêmes valeurs trigonométriques.

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À observer

  • Les valeurs exactes des 16 angles remarquables (multiples de 30° et de 45°) viennent de deux triangles : la moitié d’un triangle équilatéral pour 30° et 60°, et le triangle rectangle isocèle pour 45°. Pour un angle de référence de 30°, 45° ou 60°, le triangle qui explique la valeur apparaît automatiquement : il donne la valeur absolue (à 30°, la corde PP′ mesure 1 et |sin θ| en est la moitié), et le quadrant donne le signe. Un angle saisi comme fraction de π ou en degrés est conservé exactement ; les formes exactes telles que 3/2\sqrt{3}/2 n’apparaissent qu’aux angles remarquables, et toute autre valeur est décimale, précédée de ≈.
  • Avec Les six fonctions, U est l’intersection de la droite OP avec y=1y = 1 : cot θ est le segment de y = 1 allant jusqu’à U, et sec θ et csc θ sont les longueurs algébriques OT et OU — négatives si T ou U se trouve derrière O, sur le prolongement opposé de OP. tan et sec n’existent pas en π/2+nπ\pi/2 + n\pi, cot et csc en nπn\pi.
  • L’échelle est fixe : elle n’est jamais choisie d’après la valeur de tan. Si T (ou U) dépasse le bord du graphique, une flèche au bord indique sa direction et sa position ; vous pouvez toujours zoomer, de la même façon sur les deux axes. Au-delà d’un tour, l’arc de l’angle s’enroule en spirale pour montrer les tours — son élargissement n’a aucune signification — et au-delà de trois tours, seul le dernier est tracé, les autres étant comptés (« +4 tours », « −2 tours »).
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Commandes

  • Les touches 0°, 30°, 45°, 60° et 90° règlent l’angle exactement. Près d’un angle remarquable, P s’y accroche pendant le déplacement ; poursuivez le geste pour le libérer. Un clic sur le point d’un angle remarquable y envoie P par le chemin le plus court. L’angle peut être saisi en radians (2π/3 ou un décimal comme 2.0944, qui reste un décimal) ou en degrés (120°), de −20π à 20π ; les flèches de P avancent par pas d’un degré.
  • Le Mode présentation ouvre une vue plein écran pour la projection : ← → parcourent les angles remarquables, H masque toutes les valeurs en conservant la figure.
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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Unit circle (Anglais); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (Anglais).