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삼각법과 미적분 기초 · 단위원

단위원

단위원은 원점 중심에 반지름이 1인 원이며, 각도 θ의 점은 (cos θ, sin θ)입니다. 점을 드래그하며 부호, 특별한 값, tan이 그림에서 나오는 모습을 살펴보세요.

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이 시각화의 단위원

단위원은 원점 중심에 반지름이 1인 원 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1입니다. 각 θ\theta은 양의 x축에서부터 재며 반시계 방향이 양수입니다. 각의 끝변은 원 위의 점 P에 닿고, 코사인과 사인은 그 점의 좌표로 정의됩니다. 따라서 직각삼각형의 예각뿐 아니라 둔각, 음의 각, 한 바퀴를 넘는 각도 모두 정의할 수 있습니다. cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0일 때 탄젠트는 두 값의 몫입니다. 페이지에는 각도를 라디안과 도 단위로 함께 표시합니다. θ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circ.

정의와 원의 방정식
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

그림의 기준 삼각형에서 O부터 (cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0)까지, 다시 위나 아래로 P까지 가는 두 직각변은 방향을 가진 변위 cos θ와 sin θ입니다. 오른쪽과 위쪽은 양수, 왼쪽과 아래쪽은 음수입니다. 직선 OP는 수직선 x=1x = 1과 T =(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta)에서 만나므로 tan θ는 OP의 기울기입니다. θ가 π/2+nπ\pi/2 + n\pi이면 두 직선이 평행해서 tan θ는 존재하지 않습니다. cos θ > 0이면 T는 반직선 OP 위에 있고, cos θ < 0, 즉 sec θ < 0이면 O 뒤쪽의 반대 연장선 위에 있습니다. 이때 tan θ의 부호는 어느 쪽도 가능합니다(210°에서는 √3/3). P가 원 위에 있으므로 cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1은 원 자체의 방정식입니다. P를 좌표축과 원점에 대해 대칭시키면 π−θ\pi - \theta, π+θ\pi + \theta, −θ-\theta의 점을 얻습니다. 같은 삼각형에 부호만 달라지며, 여기서 sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta 같은 변환 공식이 나옵니다. 정수 바퀴만큼 차이 나는 각(동경이 같은 각, 예: 13π/613\pi/6과 π/6\pi/6)은 같은 점에 도착하고 모든 함수값이 같습니다.

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살펴볼 점

  • 16개 특수각(30°와 45°의 배수)의 정확한 값은 두 삼각형에서 나옵니다. 30°와 60°에는 정삼각형의 절반을, 45°에는 직각이등변삼각형을 사용합니다. 기준각이 30°, 45°, 60°이면 해당 삼각형이 자동으로 나타납니다. 삼각형이 절댓값을(30°에서는 현 PP′이 1이고 |sin θ|는 그 절반), 사분면이 부호를 정합니다. π의 분수배나 도 단위로 입력한 각은 정확하게 저장됩니다. 3/2\sqrt{3}/2 같은 닫힌 형태는 특수각에서만 표시하고, 나머지는 ≈가 붙은 소수로 표시합니다.
  • 여섯 함수 모두를 켜면 U는 직선 OP와 y=1y = 1의 교점입니다. cot θ는 y = 1을 따라 U까지 가는 유향 선분이며, sec θ와 csc θ는 OT와 OU의 부호 있는 길이입니다. T나 U가 O 뒤쪽, OP의 반대 연장선에 있으면 음수입니다. tan과 sec는 π/2+nπ\pi/2 + n\pi에서, cot와 csc는 nπn\pi에서 존재하지 않습니다.
  • 축척은 고정되어 있으며 tan의 값에 맞춰 바뀌지 않습니다. T(또는 U)가 그래프 밖에 있으면 가장자리의 화살표가 그 점을 가리키고 위치를 표시합니다. 두 축을 같은 비율로 확대·축소할 수 있습니다. 한 바퀴를 넘으면 각의 호가 바깥으로 나선을 그려 회전수를 보여 줍니다. 폭이 넓어지는 것 자체에는 뜻이 없습니다. 세 바퀴를 넘으면 마지막 한 바퀴만 그리고 나머지는 회전수로 표시합니다(“+4회전”, “−2회전”).
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조작 방법

  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90° 수치 버튼은 각도를 정확히 설정합니다. 드래그한 P가 특수각에 가까워지면 맞춰지고, 계속 끌면 벗어납니다. 특수각의 점을 클릭하면 P가 짧은 쪽 원호를 따라 이동합니다. 라디안(2π/3 또는 소수 그대로 유지되는 2.0944)이나 도 단위(120°)로 −20π부터 20π까지 입력할 수 있습니다. P에서 화살표 키를 누르면 1도씩 움직입니다.
  • 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다. ← →로 특수각을 차례로 이동하고, H로 그림을 남긴 채 모든 값을 숨깁니다.
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관련 개념

더 읽어 보기: Wikipedia: Unit circle (영어); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (영어).