사인형 함수: 진폭·주기·위상 이동을 탐색하는 그래프

01

이 시각화에서 살펴보는 사인형 함수

사인형 함수는 $A \ne 0$ , $\omega > 0$ 일 때 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ 형태의 함수로, $\sin x$ 의 그래프를 늘이고 줄이고 옮긴 것입니다. $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ 로 놓아 $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ 로 쓰기도 합니다. $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ 이므로 코사인 곡선도 사인형 함수입니다. 패널에서는 노브로 $A$ 과 $\omega$ 를 조절하고( $\omega$ 의 범위는 ½부터 4), 슬라이더로 이동량 $-\varphi/\omega$ 와 $k$ 를 조절합니다.

점선은 기본 곡선 $y = \sin x$ 이고 실선은 패널의 함수입니다. 노란 표시는 매개변수 각각이 결정하는 것을 잽니다.

네 매개변수, 네 역할

\text{진폭} = |A|, \quad \text{주기} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{이동량} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{중심선 } y = k\text{.}

세로 괄호는 중심선에서 마루까지( $A < 0$ 이면 골까지) 이어집니다. 가로 괄호는 한 주기에 걸칩니다. 중심선 위 화살표는 $x = 0$ 에서, 옮겨진 sin x의 주기가 시작되는 $x = -\varphi/\omega$ 까지 이어집니다. 파란 점들은 그 주기의 주요 점 다섯 개로, $\omega x + \varphi$ 가 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ 과 $2\pi$ 일 때입니다. 시작, 극점 $y = k + A$ , 중심선, 극점 $y = k - A$ , 끝을 나타냅니다. $A > 0$ 이면 마루가 먼저, 골이 나중이고 $A < 0$ 이면 반대입니다.

02

살펴볼 점

괄호 안의 변화는 가로로 작용하며 반대로 보입니다. $\omega = 2$ 은 주기를 짧게 만듭니다( $4\pi$ 가 아니라 $\pi$ ). $\varphi$ 이 음수이면 곡선은 오른쪽으로 갑니다.
$\omega$ 를 조절하면 주기의 시작점 $x = -\varphi/\omega$ 을 기준으로 곡선이 줄어들거나 늘어납니다. 페이지는 $\omega$ 를 바꿀 때 이동량을 유지하므로 $\varphi = -\omega\cdot(\text{이동량})$ 도 함께 바뀝니다.
곡선은 $k - |A|$ 과 $k + |A|$ 사이를 오가며 중심선은 그 가운데입니다. $A$ 가 음수이면 중심선을 기준으로 뒤집히지만 진폭은 여전히 $|A|$ 입니다.

03

올바르게 읽기

이동량은 $-\varphi$ 이 아니라 $-\varphi/\omega$ 입니다. $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ 는 $\sin 2x$ 을 오른쪽으로 $\pi/3$ 만큼 옮긴 것입니다. 먼저 옮겨도 됩니다. $\sin x$ 를 $-\varphi$ 만큼 옮긴 뒤 x좌표를 $\omega$ 로 나누면 이동량도 함께 나뉩니다.
주기는 $\omega$ 에만, 진폭은 $A$ 에만 의존합니다. $A = 0$ 이면 함수는 상수 $k$ 입니다. 진폭은 0이고 진동하지 않으며 최소 양의 주기가 없으므로 주기와 $\varphi$ 에는 줄표가 표시됩니다. $\varphi$ 는 이동량으로 계산하며 특정 구간으로 줄여 나타내지 않습니다. $\varphi$ 과 $\varphi + 2n\pi$ 은 같은 곡선을 그립니다.
페이지는 $\omega$ 를 양수로 유지합니다. $\omega$ 이 음수여도 새로운 경우는 생기지 않습니다. $\sin(-u) = -\sin u$ 이므로 $\omega$ 을 $|\omega|$ 로, $A$ 를 $-A$ 으로, $\varphi$ 을 $-\varphi$ 로 바꾸면 됩니다.

04

주요 점으로 그래프 그리기

$\omega x + \varphi$ 를 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ 로 놓으면 $s = -\varphi/\omega$ , $T = 2\pi/\omega$ 인 $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ 를 얻으며, 그곳에서 $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ 입니다. 이 다섯 점을 찍고 부드럽게 잇는 것이 한 주기를 손으로 그리는 일반적인 방법입니다. 패널의 주요 점 표에 현재 함수의 점들이 나옵니다. 열을 가리키면 그래프의 해당 점이 밝아집니다.

05

조작 방법

$A$ 와 $\omega$ 은 노브로 조절합니다. 이동량 $-\varphi/\omega$ 는 가로 슬라이더로( $-\pi$ 부터 $\pi$ 까지, $\pi/12$ 의 배수에 맞춰 붙음), $k$ 는 세로 슬라이더로 조절합니다. 곡선이 움직이는 방향과 같습니다. 값을 누르면 직접 입력할 수 있습니다(이동량은 π/6, 2π/3, -pi/4 또는 라디안). 이동량 아래 ‘≡’는 같은 곡선을 반대 방향으로 옮긴 값을 보여 줍니다. 한 주기 차이의 이동량은 같은 곡선을 그립니다.
그래프에서 주기의 시작점을 드래그하면 곡선이 이동합니다. 첫 극점을 위아래로 드래그하면 $A$ 가 바뀌고, 끝점을 옆으로 드래그하면 주기가 바뀝니다.
발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다(← →로 곡선을 $\pi/12$ 만큼 이동, ↑ ↓로 중심선을 0.5만큼 이동, H로 측정값 숨기기).

06